Capitulo 5 Calculo
5
F U N C I O N E S T R A S C E N D E N T A L E S D E R I V A D A S Y S U S
Sesión 5.1 Función exponencial de base e Sesión 5.2 Función logaritmo natural Sesión 5.3 Derivación logarítmica Sesión 5.4 Funciones exponenciales y logarítmicas de base a Sesión 5.5 Funciones trigonométricas Sesión 5.6 Funciones trigonométricas inversas Sesión 5.7 Funciones hiperbólicas Sesión 5.8Funciones hiperbólicas inversas
58 59 61 63 64 66 68 69
57
58 • C a p í t u l o 5
Funciones trascendentales y sus derivadas
S eSión 5.1 F unción
exponencial de baSe
e
Problemas resueltos Ejemplo 1. Encuentre la derivada de f ( x) = x ²e -2 x . Solución: f '( x) = x ²e -2 x (-2) + e -2 x (2 x) f '( x) = -2 x ²e -2 x + 2 xe -2 x
f '( x) = -2 xe -2 x ( x - 1)Ejemplo 2. Use derivación implícita para encontrar dy en y ³ + xe y = 3 x ² - 10 . dx
Solución: 3 y ² y '+ xe y y '+ e y (1) = 6 x 3 y ² y '+ xe y y ' = 6 x - e y y '(3 y ² + xe y ) = 6 x - e y y' = 6x - e y 3 y ² + xe y
Problemas propuestos
I. En los ejercicios del 1 al 5 derive y simplifique las funciones dadas. 1. f ( x) = e3 x ² 3. 2. f ( x) = e
x +1
f (x) = (e
4x
5
4. f( x) = 1 + e
2x
5. f ( x) =
ex ( x ² + 1)
II. En los ejercicios 6 y 7 encuentre y´ por derivación implícita. 6. e xy - x ³ + 3 y ² = 11 7. xe y - ye x = 2
Función logaritmo natural • 59
Respuestas
1.
f '( x) = 6 xe
f x = e
3x 2
2.
f '( x) = f '( x) =
y' =
3.
4x
e x−
4
4.
e x+1 2 x +1 e x+1
2
x +1
5.
f '( x) =
y' =
e ( x ² - 2 x +1) ( x ² + 1)²
x
6.
3 x 2 - ye xy xe xy + 6 y
7.
ye x - e y xe y - e x
logaritmo natural
S eSión 5.2 F unción
Problemas resueltos
Ejemplo 1. Dada f ( x) = ln(3 x ² - 6 x + 8) , encuentre f '( x) . Solución: f '( x) = 1 6x - 6 (6 x - 6) = 3x ² - 6 x + 8 3x ² - 6 x + 8
1 Ejemplo 2. Encuentre la derivada de f ( x) = 3 x ln x - ln x aplicando propiedades de 2 los logaritmos.Solución:
1 f ( x) = 3 x ln x - ln x 2 Luego derivamos 1 f '( x) = 3 xDx (ln x) + ln xDx (3 x) - Dx (ln x) 2 11 1 f '( x) = 3 x + (ln x)(3) - 2 x x 1 f '( x) = 3 + 3ln x 2x
60 • C a p í t u l o 5
Funciones trascendentales y sus derivadas
Problemas propuestos Derive y simplifique las funciones dadas:
1. f ( x) = ln(2 - 3 x)5 2. f ( x) = ln(7 - 2 x 3 )1/2
3. f ( x) = ln(3 x 2 - 2 x + 1)
4. f ( x) = ln 4 x 2 + 7 x
3
5. f ( x) = x ln x
6. f ( x) = ln x 3 + (ln x)3
7. f ( x) =
1 1 + ln ln x x x2 + 1 (9 x - 4) 2
8. f ( x) =ln x
4 + x2 4 - x2
9. f ( x) = ln
10. f ( x) = ln
x 2 (2 x - 1)3 ( x + 5) 2
Respuestas
1. f ´(x)=
-15 2 - 3x
2. f ´(x)=
-3 x 2 7 - 2 x3
3. f ´(x)=6x - 2 2 3x - 2 x + 1
4. f ´(x)=
8x+7 3(4 x 2 + 7 x )
3 + 3ln 2 x x 16 - 8 x 2 - x 4 x(4 + x 2 )(4 - x 2 ) 6 x 2 + 50x-10 x(2x-1)(x + 5)
5. f ´(x)= (1 + ln x)
2 7. f ´(x)= ( -1) 1 + ln x
6. f ´(x)=
x ln 2 x
8. f ´(x)=
9. f ´(x)=
-9 x 2 - 4 x - 18 ( x 2 + 1)(9 x - 4)
10. f ´(x)=
Derivación logarítmica • 61
S eSión 5.3 d erivación
Problemasresueltos
logarítmica
Ejemplo 1. Encuentre y’ por derivación logarítmica de la función
3 2 y = x x -1 . 2 ( x - 2) 2
Solución: Paso 1 ln y = ln x3 x 2 - 1 . ( x 2 - 2) 2
Paso 2
ln y = ln x3
x 2 - 1 – ln (x2 – 2)2
(propiedad A). (igual). (propiedad C a cada témino). (derivando ambos lados).
ln y = ln x3 + ln x 2 - 1 – ln (x2 – 2)2 ln y = 3 ln x + 1 ln (x2 – 1) – 2 ln (x2 – 2)2 y' 3 1 2x 2x = + -2 2 y x 2 ( x 2 - 1) ( x - 2) 3 x 4x y' = + 2 - 2 y x x - 1 ( x - 2) 3 x 4 x x3 x 2 - 1 y' = + 2 - 2 2 2 x x - 1 ( x - 2) ( x - 2) Ejemplo 2. Derive y = (x - 1) logarítmicamente.
3x
Paso 3
Paso 4
Solución: y = ( x - 1)3 x . Paso 1 Paso 2 Paso 3 ln y = ln (x-1)3x ln y = 3x ln (x – 1) y' 3x = + 3ln( x - 1) y x -1 3x y' = + 3ln( x - 1) ( x...
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