Cardinalidad

Número cardinal
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Este artículo trata sobre la definicón elemental de número cardinal. Para la definición en teoría de conjuntos, véase Número cardinal (teoría de conjuntos).
El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen unageneralización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto [pic], el cardinal de este conjunto se simboliza mediante [pic], [pic], [pic]o [pic]. Por ejemplo: si A tiene 3 elementos el cardinal se indica así: |A| = 3.
|Contenido |
|[mostrar] |
|1 Historia|
|2 Propiedades del cardinal de un |
|conjunto |
|3 Cardinales transfinitos |
|4 Ejemplo de cálculo del cardinal de |
|un conjunto |
|5 Aritmética de cardinales |
|5.1 Cardinal del conjunto potencia |

[pic][editar] Historia
El concepto de número cardinal fue desarrollado y propuestopor Georg Cantor, en 1874, quien lo amplió a conjuntos infinitos, ya que para conjuntos finitos el concepto de cardinal es trivial.
Primero estableció el concepto de cardinalidad como una herramienta para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} no son iguales pero tienen la misma cardinalidad, llamada tres.
Cantor definió el conteo usando la correspondenciabiunívoca, la cual mostraba fácilmente que dos conjuntos finitos tenían la misma cardinalidad si había una relación biyectiva entre sus elementos. Esta correspondencia uno a uno le sirvió para crear un concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de números naturales (N = {1, 2, 3, ...}).
Nombró el cardinal de [pic]: [pic]. Inclusoprobó que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como los pares) tienen cardinalidad [pic], debido a que era posible establecer la relación biunívoca con N.
[editar] Propiedades del cardinal de un conjunto
Los conjuntos pueden ser divididos en clases de equivalencia definidas en función de la relación de equivalencia que incluye a un par de conjuntos si y sólo si entre éstos existe unabiyección. Cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual éste pertenece. Tener dos conjuntos A,B con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:
[pic]o bien [pic]
La existencia de una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relación de orden entre sus cardinales; es decir:
[pic]
La relación [pic]excluye la posibilidad quelos cardinales sean iguales.
Es posible demostrar que si
[pic]y [pic]esto implica que [pic]
El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío:
[pic]
El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por ω. Se puede también demostrar queexiste una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el [pic]-orden en los cardinales). Esta función, llamada [pic], induce un buen orden en los cardinales, y de aquí proviene la notación [pic]para el primer cardinal infinito, [pic]para el siguiente, etc.
[editar] Cardinales transfinitosArtículo principal: Número transfinito
Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:
• El cardinal de los números reales: [pic];
• El cardinal de los números naturales: [pic](Alef-0).
• El cardinal inmediatamente superior a [pic]: [pic]
Usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores...