Cálculo Diferencial e Integral - Volumen de un sólido. Objetivos a cubrir
Volumen de un sólido : Secciones transversales. Volumen de un sólido de revolución : Método del disco. Método de laarándela. Volumen de un sólido de revolución : Método de los cascarones.

Prof. Farith J. Briceño N. Código : MAT-CDI.9

Ejercicios resueltos Ejemplo 1 : Sea S un sólido con base circular de radio 1. Lassecciones transversales paralelas, perpendiculares a la base, son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido. Solución : Consideremos que el círculo está centrado en el origen decoordenadas, es decir, tiene ecuación x2 + y 2 = 1.
y 1

0.5

0 -1 -0.5 0 0.5 1 x -0.5

-1

Círculo de centro (0; 0) y radio 1. x2 + y 2 = 1

Sean p (x; y1 ) y B (x; y2 ) puntos del círculo, así, Ay= 1 x2 , con lo cual la base del triángulo ABC, es p p jABj = 1 x2 1 x2 ; es decir, p jABj = 2 1 x2

y el volumen del sólido es

Dado que el triángulo es equilátero, el área de la seccióntransversal es p p 3 p 3 2 2 1 x2 A (x) = A ABC = (base) = 4 4 V =
1 Z

2

=

p

3 1

x2

A (x) dx =

1

1 Z p 1

3 1

x2

dx =

p 4 3 : 3 F

Ejemplo 2 : Determinar el volumen deuna cuña, cortada por un cilindro circular por un plano, que pasando por el diámetro de la base está inclinado respecto a ella formando un ángulo . El radio de la base es igual a R.

1

Solución :Tomamos el eje x como el diámetro de la base, por el que pasa el plano de corte y el eje y, perpendicular al anterior. La ecuación de la circunferencia de la base será x2 + y 2 = R2 .

Se puedeveri…car por triángulos semejantes que la sección transversal, ABC, de la cuña perpendicular al diámetro que se encuentra a la distancia x del origen de coordenada 0 es un triángulo rectángulo isósceles.Si denotamos por y (x) a la base y altura de este triángulo, entonces el área de la sección transversal, ABC, será igual a A (x) = A Por lo tanto, V =
2 2 2 R Z ABC

=

1 1 jABj jBCj = y (x)... [continua]

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