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Ejercicios 7.3
Evalué la integral indefinida:
5.-xx2-25dx
: u=x2-25 du=2xdx
=12u-12du =122u12+C =u12+C =x2-25+C

11.-ln3w wln2w-4dw
: u=lnw du=dww
I= u3du u2-4nuevamente: u=2secθ du=2secθtgθ dθ
u2-4= 4sec2θ-4 =2tgθI=8sec32secθtgθdθ2tgθ=8sec4θdθ=8(tg2θ+1)sec2θdθ
I=8tg2(sec2θdθ)+8sec2θdθ
I=83tg3θ+8tgθ+C=83u2-4328+8u2-42+C
I=13u2-4u2-4+12=13ln2w-48+log2w+C

15.-232tt4+25dt
t2=u, 2t dt=du.
I=232dt2tt4+25=t=232t dtt2+25=u=49duuu2+25
u2+25=25tan2θ=51sec2θ=5secθ
I=o=ab5sec2θ dθ5tanθ5secθ=15abcscθtanθdθ=15abcosθ dθ=15lncscθ-cotθba =15ln1069-59-ln414-54=15ln4106-5941-5≈0.10345

21.--20dx5-4x-x232
Asemos:-20dx9-x+2232 senθ=x+23
θ=sen-1x+23 b=sen-223
x+2=3senθ dx=3cosθdθ
9-x+2232=27cos3θ
I=-2b3cosθdθ27cos3θ=19-2bsec2θdθ=19tgθb-2=0.003880085499

33.- 4-x2xdx
u2=4-x2, 2u du=-2x dx,
=4-x2x2x dx=u4-u2-u du=1-44-u2du
=u-ln2+u2-u+C
=4-x2-ln2+4-x22-4-x2+C

35.- calcule la longitud de arco de la curva y=lnx desde el punto donde x=1 hasta el puntodonde x=3

L=131+1x2dx=13x2+1x2dx=x=13x2+1xdx

θ=tg-1x , b=tg-13 , x=tgθ , dx=sec2θ , x2+1x=cscθ
L=π4bcscθsec2dθ=π4bcscθtg2θ+1dθ=π4bsecθtgθ+cscθdθ
=secθ+lncscθ-cotθbπ4
= 10+ln10-13-2-ln2-1-ln2-1=2.30199

38.-Calcule la longitud de arco de la parábola y=x2 desde el punto (0,0) hasta el punto (1,1).

θ=tg-12x b=tg-12 x=12tgθ dx=12sec2θdθ1+(2x)2 =1+tg2 θ=secθ
L=θ=0bsecθ(12sec2θ)dθ=120bsec3θdθ=14secθtgθ+lnsecθ+tgθb0
=14(25+ln5+2

41.-Determine el centroide de la región limitada por la curva yx2=x2-9 el eje x y la recta x=5
x=3secθ y a=sec-153
dx=3secθtgθdθ x2-9=9sec2θ-9=3tg2θ=3tgθ
A=0a3tgθ9sec2θ.3secθtgθdθ=0atg2θsecθdθ=0asec2θ-1secθdθ
=0asecθ-cosθdθ =lnsecθ+tgθ-senθa0
=ln53+43-45-0=ln3-45=5ln3-45My=53xx2-9x2dx=03xx2-9x2dx0a3tgθ3secθ3secθtgθdθ=30atg2dθ
30asec2-1dθ=3tgθ-3θa0=343-3csc-153=4-cos-153
Mx=1235x2-9x22dx=1235x2-9x4dx=12351x2-9x4dx
=12-11x+3x353=12-15+3125+13-19=261125
el centroide es el punto(x,y)
x=1A∙My=55ln3-4∙4-cos-153=20-15cos-1355ln3-4 ,
y=1A∙Mx=55ln3-4∙261125=26225(5ln3-4)

Ejercicios 7.4
11.-6x2-2x-14x3-xdx
=6x2-2x-14x3-x=Ax+B2x-1+C2x+1=6x2-2x-1=A2x-12x+1+Bx2x+1+cx2x-1
hallamos A,B,C:
A=1,B=-12,C=32
=dxx-12dx2x-1+34dx2x+1=lnx-14lnC=14lnCx4(2x+1)32x-1
17.- x2+xx3-x2+x-1
x2+xx3-x2+x-1=Ax-1+Bx+Cx2+1
x2+x=Ax2+1+(Bx+C)x-1
A=1,B=1-A,C=A=1
(x2+x)x3-x2+x-1=dxx-1+dxx2+1=lnx-1+tg-1x+C

19.-sec2tsec2t+1tg3t+1dt

sec2tsec2t+1tg3t+1dt=u2+2du1+u3=u2+2duu+1u2-u+1
u2+2duu+1u2-u+1=Au+1Bu+Cu2-u+1
sustituyendo los puntos criticos en x tenemos que:A=1,Bu+C=1
I=duu+1+duu-122+34=lnu+1+23tg-1u-12123+C=lntgx+1+23tg-12tgx-13+C
25.-144+5x24x+x3dx
4+5x24x+x3=Ax+Bx+Cx2+4
4+5x2=Ax2+4+Bx+Cx
sustituyendo los puntos criticos hallamos A,B,C:
A=1.B=4,C=0
entonces:
144+5x24x+x3dx=14(1x+4x2+4)dx=lnx+2lnx2+441
=ln4+2ln20-2ln5=6ln2=4.15888
31.-ln2ln312e2t+16dt
=1232ln2ln332e-2tdt1+16e-2t=-38ln1+16e-2tln3ln2
=-38ln1+169-ln⁡(1+4=38ln95

47.-Elejercio27 de la sección 1.3 y el ejercicio1.3 de la sección 3.2 tratan la siguiente situación: suponga que la tasa de crecimiento de una epidemia en Fort Bragg, un pequeño poblado al norte de california de 5000 habitantes, es conjuntamente proporcional al número de personas infectadas y el número de personas no infectadas.(a) si inicialmente 20personas estuvieron infectadas, obtenga un modelo matemáticoque exprese el número de personas infectadas como una función del número de del número de días en que la epidemia se a incrementado. Si la epidemia no se controla. ¿cuántas personas estarán infectadas después de (b)10días,(c)20dias, (d)30dias, (e)60dias(f) demuestre que si la epidemia no se controla , entonces la población entera de Fort Bragg estará infectada dentro de 6meses8g9utilice la...
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