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APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN AL ESTUDIO DE CAMPOS VECTORIALES PLANOS

Algunos problemas de página 245 y siguientes.
y  2 5 1 x   sobre 9. Trabajo del campo F =  x − ,  4 y + 1 ( y + 1)2   y>-1 3 la curva 2 C: (t − sin t , 1 − cos t ), 0 ≤ t ≤ 2π 1 x Hay que hacer ver que se cumple la igualdad de las derivadas cruzadas en el abierto donde resulta y ≠ − 1, que −1−1A 1 2 3 4 5 6 B 7 8no es conexo pero se obtiene de la unión entre dos −2 abiertos simplemente conexos (y > − 1, y < − 1). En cada −3 una de ellas el campo es conservativo. En particular 8 F = F = L = π 3 − 2π interesa elabierto donde y > − 1, que es el que contiene a 3 C AB la curva de integración. 2 2 15. Se pide la integral del campo F =  e x + y , 2 y e x + y  a lo largo de una curva (arco de    

∫ ∫cicloide). En este caso se advierte que un potencial es ϕ ( x, y ) = e x + y , de modo que justificando tal afirmación mostrando que ϕ x = f ( x, y ), ϕ y = g ( x, y ) , se calcula fácilmente
2

laintegral pedida como incremento del potencial y se obtiene e 2π + 4 − e 4 . 16. Se pide en a) calcular la integral del campo  −y  x  sobre el cuadrado que se F = 2 , 2  x + y2 x + y2   indica en la figura y en b) la integral sobre el lado del cuadrado contenido en el primer cuadrante. Se recomienda tener en cuenta el ejemplo 5 de la página 241, y el ejercicio 7 de la sección 2.
2 1 x −2−1 −1 1 2 y

−2

17. Se pide calcular la integral de la FDL ω = ( x cos x + ysin x ) dx − cos x dy a lo largo del arco de astroide en el primer cuadrante.

y

1

Mostrando que ω es unadiferencial exacta en todo el x plano (¿cómo?) se podrá cambiar la curva por otra que una los mismos extremos. 1 En la figura se sugiere una curva conveniente que es la poligonal de lados contenidos enlos ejes coordenados. Indicar: origen, extremo y con flechas el sentido de integración. Rta: 1 − π Cuando el objetivo del problema es calcular una integral curvilínea de un campo conservativo en un...