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Ecuaciones Diferenciales | junio 29
2012
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Tarea 5 | Métodos Numéricos |

Tarea:
1) ¿En que consisten los métodos numéricos?
La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que sededica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:
* No se adecúan al modelo concreto.
* Su aplicación resulta excesivamente compleja.
* La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior.
*Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.
En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numérica. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores.De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodosnuméricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos además son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodosnuméricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparablesde los cálculos numéricos a gran escala.
Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

2) Consultar el modelo matemático de cada uno de los siguientes métodos numéricos que se aplican en una ecuacióndiferencial
a. Método de Euler
Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra una sola variable independiente:
dydx=f(x,y)
El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:

Nuevo valor = valor anterior + pendiente x taaamaño depaso
O bien,
yi+1=yi+∅h
De esta forma, la formula se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y así trazar la trayectoria de la solución.

La figura muestra el procedimiento aplicado con la ecuación Euler.

El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona unaestimación directa de la pendiente xi
∅=fx,y
fxi,yi, Es la ecuación diferencial evaluada en xi,yi, sustituyendo esta estimación de la pendiente de la ecuación se tiene:
yi+1=yi+fxi,yih
Esta ecuación, se le conoce como el método de Euler. En esta formula se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x, este nuevo valor...