Certamenes

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Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.

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Aplicaciones de la integral.-

Antes de abordar las variadas aplicaciones para el concepto de integral daremos
la definición más general de esta noción, la cual no requiere considerar solamente
funciones continuas.
Se conoce como la Integral de Riemann.

1.1

Definición de la Integral de Riemann.-

Sea f : [a, b] → R.
Dadauna partición P : a < x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b del intervalo [a, b]
se escoje xk ∈ [xk−1 , xk ] (un punto en cada subintervalo). Esto permite definir una
ˆ
suma de Riemann de f , asociada a la partición P por
n

S (f, P ) =

f (ˆk ) ∆xk
x
k =1

Por ejemplo, con f (x) =

√
x 4 + 1, 0 ≤ x ≤ 2

y4
3
2
1
0
0

1

2

x

podemos construir la suma de Riemann:
con unapartición que determine 20 subintervalos de igual longitud y escojiendo el
punto medio de cada subintervalo

y4
3
2
1
0
0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

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2

19

la cual tiene un valor de

1
10

1
k
10

+

14
20

k=0

+ 1 ≈ 3. 651 9

Para una partición P dada, llamamos norma de la partición a la longitud delsubintervalo más largo, la cual se denota P .
O sea, P = max {∆xk : 1 ≤ k ≤ n} .
Que P < δ, significa que para todos los subintervalos: ∆xk < δ.
Un caso particular se tiene cuando todos los subintervalos tienen la misma longitud. La partición se denomina regular y se tiene que ∆xk = b−a para todo k
n
y
b−a
P=
n
y por tanto,
P →0 ⇔ n→∞
Para una partición general

b−a
≤n
P

luego
P →0⇒ n→∞
y el recíproco no vale.
Definición 1 Se dice que f es integrable Riemann en [a, b] cuando existe un L ∈ R
que verifica:
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
n

∀ partición P : P < δ ⇒ L −

f (ˆk ) ∆xk < ε
x
k =1

cualquiera sea la elección de xk ∈ [xk−1 , xk ]
ˆ
Esta condición significa que
n

f (ˆk ) ∆xk = L
x

lim

P →0

k=1

El valor de este límite se llama laintegral de f en el intervalo [a, b] y se escribe
n

b

f (x) dx = lim
a

P →0

f (ˆk ) ∆xk
x
k=1

Teorema 2 Toda función continua en [a, b] es integrable en [a, b] .

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Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.

La clase de funciones integrables en [a, b] es más amplia que la indicada en
el teorema anterior. Se puede probar que también son integrables las funcionescontinuas por tramos.
Una función f es continua por tramos (o seccionalmente continua) en el intervalo
[a, b] , cuando ella es continua en todo punto del intervalo, con la posible excepción
de un número finito de puntos t1 , t2 , ..., tk donde los límites laterales deben existir.
Por ejemplo,
2
si 0 ≤ x < 2
x
3 − x si 2 ≤ x ≤ 4
f (x) =
 3 −x
xe
si 4 < x ≤ 6

y

4
3
2
1

-1

12

3

4

5

-1

6

x

La integral se calcula en este caso como
6

2

0

4

x2 dx +

f (x) dx =
0

2

6

(3 − x) dx +

8
=
+ 0 − 366e−6 + 142e−4
3

x3 e−x dx
4

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1.2

4

Area entre curvas.

Sea R la región del plano descrita por
a ≤ x≤b
g (x) ≤ y ≤ f (x)
donde f, g : [a, b] → R son continuas.Por ejemplo,

2.0
1.5
1.0
0.5

-0.50
-0.25

0.25 0.75 1.25
0.50 1.00 1.50

x

-0.5

Para calcular el área de R tomamos una partición P : a = x0 < x1 < .... < xn = b
de [a, b] y elejimos xk ∈ [xk−1 , xk ] . Sobre cada subintervalo [xk−1 , xk ] , consideramos
ˆ
el rectángulo de área
x
[f (ˆk ) − g (ˆk )] ∆xk
x
La suma

n

k =1

[f (ˆk ) − g (ˆk )] ∆xk
x
x

es unasuma de Riemann de la función f (x) − g (x) .
Ahora cuando P → 0, los rectángulos van “llenando” la región R, como también las sumas de Riemann se aproximan al valor de la integral de la función. Por
esto
b

A (R ) =
a

[f (x) − g (x)] dx

Ejemplo 3 Encuentre el área de la región acotada por las parábolas y = x2 e
y = 2x − x2 .

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