Choci

Permutaciones y combinaciones
Contamos posibilidades Comenzamos con un sencillo ejemplo. En España, los coches tienen una matrícula que consta de cuatro dígitos decimales, seguidos de tres letras sacadas de un alfabeto de 26. ¿Cuántas matrículas distintas puede llegar a haber? Cuando se da una situación en la que cada uno de varios elementos puede tomar valores distintos, o diferentes tareas sepueden hacer de forma distinta, y todos ellos son independientes entre sí, la forma de calcular el número total de posibilidades es multiplicar el número de valores que puede tomar cada elemento, o el número total de formas en las que se puede realizar cada tarea. En nuestro caso, el primer dígito puede tomar uno de 10 valores; para cada uno de estos valores, el segundo dígito puede tomar uno de10 valores, y así sucesivamente, hasta llegar a la tercera letra, que puede tomar, para cada uno de los casos que tengamos hasta ese momento, uno de 26 valores, para un total de 10 × 10 × 10 × 10 × 26 × 26 × 26 = 175.760.000 posibles matrículas. Como se puede ver, ¡tenemos matrículas para rato!

Tomemos otro ejemplo sencillo. ¿Cuántos números hay cuya expresión decimal tiene exactamente 6 cifras?(Como es habitual, los ceros a la izquierda se eliminan) En este caso, uno de los elementos tiene una limitación en su valor: la primera cifra no puede ser cero porque entonces ese cero a la izquierda se eliminaría y el número tendría a lo sumo 5 cifras. Por lo tanto, la primera cifra sólo puede tomar 9 posibles valores (1,2,...,9), para un total de 9 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 900.000 números.Este problema se puede resolver también de otra forma alternativa, ya que el menor número que tiene exactamente 6 cifras es el 100.000, y el mayor es 999.999, y todos los números entre ambos, y ninguno más, tiene exactamente 6 cifras, para un total de 999.999 − 100.000 + 1 = 900.000 números. Sumamos uno a la diferencia entre 999.999 y 100.000 porque ambos tienen 6 cifras y deben ser contados.Continuamos con otro ejemplo. En el mus se reparten a cada jugador 4 cartas de una baraja de 40 cartas distintas. ¿De cuántas formas distintas me pueden repartir 4 cartas en el mus? ¿De cuántas formas me pueden tocar los 4 reyes? Ahora, el resultado de la primera carta que se reparta afecta a las otras 3, porque ninguna de estas 3 puede ser igual a la primera, que ya está repartida. Por lo tanto,aunque la primera carta que me repartan es una de entre 40, la segunda carta deberá ser una de entre las 39 restantes, la tercera una de las 38 restantes, y la cuarta una de entre las 37 restantes, para un total de 40 × 39 × 38 × 37 = 2.193.360 posibles formas de repartir 4 cartas. Para que me toquen los cuatro reyes, la primera carta debe ser uno de estos cuatro reyes, la segunda uno de los tresrestantes, la tercera uno de los dos restantes, y la última el rey que quede, para un total de 4 × 3 × 2 × 1 = 24 posibles formas de repartir los 4 reyes. ¡De repente, tener cuatro reyes parece muy difícil!

¿Importa el orden? Vamos a cambiar ligeramente el problema anterior: ¿Cuántas posibles manos existen en el mus? Es decir, como una vez que tengo mis cuatro cartas en la mano, la jugada nodepende del orden en que me hayan llegado, ¿cuántos son los posibles grupos de 4 cartas que puedo llegar a tener jugando al mus? ¿Cuántas manos tienen 4 reyes? La respuesta a la última pregunta es claramente que sólo 1 mano tiene 4 reyes, ¡cuando tengo los 4! No importa en este caso el orden en que hayan llegado. Me han podido llegar primero el de oros, luego el de copas, el de espadas y finalmenteel de bastos (OCEB), pero me han podido llegar también en cualquier otro orden, (CBEO, BOEC,...). De hecho, como el primero ha podido ser cualquiera de los 4, luego cualquiera de los tres restantes, luego cualquiera de los 2 restantes, y finalmente el único que me falta, hay 4 × 3 × 2 × 1 = 24 posibles formas de ordenar los 4 reyes. ¡Claro, tantas formas como hay para que me repartan los 4 reyes...