Choque central o directo

Índice
• Conceptos Básicos • Teorema de la Cantidad de Movimiento. Conservación. • Teorema del Movimiento del Centro de Masas • Teorema del Momento Cinético respecto de un Punto Fijo y respecto del CM. Conservación. • Teorema de la Energía Cinética. Teorema de Koenig. • Teorema de la Energía Mecánica. Conservación. • Teorema de la Cantidad de Movimiento. Conservación. • Colisiones.Definiciones. • Línea de Choque: Cálculo. • Coeficiente de Restitución • Resolución de Choques

Conceptos Básicos
Mα mj rj rji ri
Sist. Ref. S Interior

Fαj

Fαi Fαi fji
Sist. Ref. S

Exterior

mi

Fαj fij

Fuerza total sobre i :

Fi total =

∑ Fα + ∑ α
i

N

Cantidad de Movimiento :
N

p=
i =1 N i i

∑ p =∑mv
i =1 i i =1

N

j =1 N

f ji = Fi + f i
i i

Centro deMasas :

rC =

∑mr ∑ mi
i =1

1 = M

∑mr
i =1

N

i i

Mα mj rj rji

Conceptos Básicos
mi ri
Sist. S Interior

Exterior

Fαj fij fji
Sist. S

Fαi

1 xC = M
MvC =
N

∑mx;
i =1 i i
i i

N

1 yC = M

∑m y;
i =1 i i

N

1 zC = M

∑mz
i =1

N

i i

∑mv
i =1

= p;

dp MaC = dt

Teorema de la Cantidad de Movimiento
F
Demostración.
P a ra i: F
i

ext

=

∑

N

i =1

dp Fi = dt
N i N i N

+

fi =
N

d pi d t

P a r a to d a s :

∑

; p ero

i=1

∑

fi =

∑ ∑

f

ji

= 0

j

El impulso mecánico de las fuerzas exteriores es igual al cambio en la cantidad de movimiento.

I

ext

=

∫

t2 t1

F ext d t = p ( t 2 ) − p ( t1 )

Conservación: Si el impulso mecánico de las fuerzasexteriores es cero la cantidad de movimiento se conserva.

Teorema del Movimiento del Centro de Masas
F
Demostración.
ext

= M aC

F

ext

d ( M vC ) dp = = = M aC dt dt

El centro de masas se mueve como una partícula con la masa total sometida a la resultante de las fuerzas exteriores. CM mj rj rC ri
Sistema CM

rCi

mi

1 0= M

1 ∑ mi rCi ; 0 = M i =1

N

∑m v
i =1N

i Ci

M o m e n to C in é tic o e n A :
Α

Teorema del Momento Cinético respecto de un Punto Fijo N N
LA =
N

∑

i =1

L Ai =

∑

i =1

rA i × p i

mj rj

rAj

rAi ri

mi

M

ext A

=

∑

i =1

rA i

dLA × Fi = dt

El momento de las fuerzas exteriores en un punto fijo A es igual a la derivada del momento cinético en A. Demostración. N

P a rai : rA i

El momento de las fuerzas interiores se anula.

d L Ai × ( Fi + f i ) = ; P ara N : ∑ dt i =1

Teorema del Momento Cinético respecto del Centro de Masas N N
Momento Cinético en el CM :
CM

LC =

∑L
i =1

Ci

=

∑r
i =1

Ci

× pi

mj rj

rCj

rCi ri

mi

M

ext C

=

∑

N

i =1

d LC rC i × F i = dt

El momento de las fuerzas exteriores enel centro de masas es igual a la derivada del momento cinético en el centro de masas. Conservación. Si el momento de las fuerzas exteriores es cero respecto al CM (o un punto fijo) el momento cinético en el centro de masas (o en un punto fijo) se conserva.

Teorema de la Energía Cinética
Energía Cinética : EC =

∑
i =1

N

1 m i vi2 2

El trabajo de las fuerzas exteriores e interioreses el incremento de la energía cinética.

W

ext

+W
2

in t

=

∑

N

i =1

W i ext +
2

∑

N

i =1

W i in t = E c ( 2 ) − E c (1)

Demostración.

Para i : ∫ Fi ⋅ dri + ∫
1

1

N 1 2 1 2 fi ⋅ dri = mi vi (2) − mi vi (1); Para N : ∑ 2 2 i =1

En el sistema CM, teorema de Koenig (ejercicio):

EC =

∑
i =1

N

N 1 1 1 2 2 2 m i ( vCi + vC ) = MvC + ∑m i vCi 2 2 i =1 2

Teorema de la Energía Mecánica
Hipótesis: Suponemos fuerzas interiores conservativas.
W E
in t

= −(E 1 = 2 =
N N i =1

in t p N

(2) − E E
ij p

in t p

(1) )

y
ij p

W c eoxnts . = − ( E + E
ji p

ext p

(2) − E
ij p

ext p

(1) )

in t p

∑∑
E
p i

=

j =1

∀ p ares ij

∑

1 (E 2

) =

∀ p a res ij

∑

E

E...