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9. Movimiento
Acelerado

Circular Uniformemente

Este movimiento se presenta cuando un móvil con trayectoria circular aumenta o disminuye en cada unidad de tiempo su velocidad angular en forma constante, por lo que su aceleración angular permanece constante. Velocidad angular instantánea La velocidad angular instantánea representa el desplazamiento angular efectuado por un móvil en un tiempomuy pequeño que tiende a cero. Aceleración angular La aceleración angular se define como la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo. Su ecuación esta definida de la siguiente manera:

α=
donde: α (alfa) = aceleración angular ωf = velocidad angular final ωi = velocidad angular inicial t = tiempo Ejemplo: Resuelve el siguiente problema.

ω f − ωi
t Unidades rad/s2 rad/s rad/ss

1) Un volante aumenta su velocidad de rotación de 6 a 12 rev/s en un tiempo de 8 s. ¿Cuál es su aceleración angular? Datos ωf = 12 rev/s ωi = 6 rev/s t=8s Fórmula Sustitución Resultado

α=

ω f − ωi
t

α=

12rev / s − 6rev / s 8s

α = 0.75 rev / s
Se realizan las conversiones y tenemos:

α = 4.71rad / s

99

Aceleración angular media Cuando durante el movimiento circularde un móvil su velocidad no permanece constante, sino que varía decimos que sufre una aceleración angular. Cuando la velocidad angular varía es conveniente determinar cuál su aceleración angular media, misma que se expresa de la siguiente manera:

αm =

ω f − ωi
t f − ti

Aceleración angular instantánea Cuando en el móvil acelerado de un cuerpo que sigue una trayectoria circular, losintervalos de tiempo considerados son cada vez más pequeños, la aceleración angular media se aproxima a una aceleración angular instantánea. Cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño que tiende a cero, la aceleración del cuerpo es instantánea.

Analogías entre el movimiento lineal y circular Lineal d (m) V (m/s) a (m/s2) θ ω α Circular (rad) (rad/s) (rad/s2)

Ecuaciones que relacionan almovimiento lineal y circular d=θr V=ωr a=αr donde: d θ r V ω a α distancia de arco desplazamiento angular radio velocidad lineal velocidad angular aceleración lineal aceleración angular Unidades cm, m rad cm, m cm/s, m/s rad/s cm/s2, m/s2 rad/s2

100

Ejemplos: Dados los siguientes problemas encuentra lo que se te pide. 1) Calcular la velocidad lineal de un disco de 30 cm de radio que tiene unavelocidad angular de 135 rad/s. Datos V=? ω = 135 rad/s r = 30 cm 1m 30 cm = 0 .3 m 100 cm Fórmula Sustitución Resultado

v =ωr

v = 135 rad / s x 0.3m

v = 40.5 m / s

2) Se tiene una polea de 50 cm de diámetro. Si un punto sobre la banda tiene una rapidez de 10 m/s, ¿con qué rapidez gira la polea? Datos
d= 50 cm = 0.5 m

Fórmula

Despeje

Sustitución

Resultado

v =ωr

V = 10 m/sω=?
r= d 0 .5 m = = 0 .25 m 2 2

ω=

v r

ω=

10 m / s 0.25m

ω = 40 rad / s

Tabla comparativa Aceleración Lineal Constante Aceleración Angular Constante

V f = Vi + at
⎛ V + Vi ⎞ d =⎜ f ⎟t ⎝ 2 ⎠ V f = Vi 2 + 2ad
2

ω f = ωi + αt
θ =⎜
⎛ ωf + ωi ⎞ ⎟t ⎝ 2 ⎠

ω f 2 = ωi2 + 2αθ

1 d = Vi t + at 2 2

θ = ωi t + αt 2

1 2

101

Ejemplos: Resuelve los siguientesproblemas. 1) Una rueda gira con una velocidad angular inicial de 12 rad/s experimentando una aceleración de 5 rad/s2 en 6 s. Calcular: a) el desplazamiento angular total b) la velocidad angular final Datos Fórmula Sustitución Resultado

ωi = 12 rad / s α = 5 rad / s 2
t = 6s θ=? ωf = ?

ω f = ωi + αt
θ = ωi t + αt 2
1 2

ω f = (12 rad / s ) + (5rad / s 2 )(6 s )

ω f = 42 rad / s

θ = ⎜12⎛ ⎝

rad ⎞ 1 ⎛ rad ⎞ 2 ⎟( 6 s ) + ⎜ 5 2 ⎟( 6 s ) s ⎠ 2⎝ s ⎠

θ = 162 rad

2) Calcular la velocidad angular final y el desplazamiento angular de una rueda que tiene una velocidad angular inicial de 8 rad/s y experimenta una aceleración de 3 rad/s2 en 12 s. Datos Fórmula Sustitución
ω f = (8 rad / s ) + (3 rad / s 2 )(12 s )
θ = (8 rad / s )(12 s ) +
1 3 rad s 2 (12 s ) 2 2

Resultado...
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