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UNIDAD VII. DEFINICIÓN:

“LA HIPÉRBOLA”.

La Hipérbola es el conjunto de puntos en el plano cuya diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el mismo plano, llamados focos, es constante e igual a 2a. 7.1 Ecuación en forma común o canónica de la hipérbola. 7.1.1 Elementos: En la gráfica dada a continuación (Fig. 1) es posible encontrar los elementos siguientes: C → Centro. V → Vértices.F → Focos. Asíntotas (rectas que se cortan en el centro) a = CV → Semieje real (transverso) b = CB → Semieje imaginario (conjugado) c = CF → Semieje focal.

Fig. 1. Convencionalmente se utilizan los subíndices (1) para los elementos que se localizan abajo y a la izquierda del centro y (2) para los que están arriba y a la derecha del centro.

1

Relación matemática entre a, b y c. Esposible comprobar geométricamente que la distancia del centro a cualquiera de los focos es exactamente igual a la distancia de un vértice a cualquiera de los extremos del eje imaginario (Fig. 2)

Fig. 2 De la figura anterior se puede ver que: c = a + b
2 2 2

7.1.2. Ecuaciones de la hipérbola cuyo centro está en el origen A) Eje real paralelo al eje X. En la gráfica (Fig. 3) se puede observar que:d 1 = PF1 donde, por la fórmula de distancia entre dos puntos: PF1 = ( x − (−c)) 2 + ( y − 0) 2 PF1 = ( x + c) 2 + y 2 y d 2 = PF2 , de

PF2 = ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 PF2 = ( x − c) 2 + y 2

De la definición de la hipérbola se tiene que d1 − d 2 = 2a , y sustituyendo:

2

Fig. 3 ( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = 2a , despejando la primera raíz: ( x + c) 2 + y 2 = 2a + ( x − c) 2 + y 2; elevando al cuadrado ambos miembros:

( ( x + c)

2

+ y2

) = (2a +
2

( x − c) 2 + y 2 ; desarrollando:

)

2

( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 + 4 a ( x − c ) 2 + y 2 +

( ( x − c)

2

+ y 2 , desarrollando:

)

2

x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + 4a ( x − c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2 x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + 4a ( x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2cx + c 2 + y 2 ; despejando:3

x 2 + 2cx + c 2 + y 2 − 4a 2 − x 2 + 2cx − c 2 − y 2 = 4a ( x − c) 2 + y 2 , reduciendo: 4cx − 4a 2 = 4a ( x − c) 2 + y 2 , dividiendo por 4 ambos miembros: cx − a 2 = a ( x − c) 2 + y 2 ; elevando nuevamente al cuadrado: (cx − a 2 ) 2 = a ( x − c) 2 + y 2 ; desarrollando: c 2 x 2 − 2a 2 cx + a 4 = a 2 [( x − c) 2 + y 2 ] c 2 x 2 − 2a 2 cx + a 4 = a 2 ( x 2 − 2cx + c 2 + y 2 ) c 2 x 2 −2a 2 cx + a 4 = a 2 x 2 − 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 ; enviando términos en x e y al lado izquierdo: c 2 x 2 − 2a 2 cx − a 2 x 2 + 2a 2 cx − a 2 y 2 = a 2 c 2 − a 4 ; reduciendo términos semejantes: (c 2 x 2 − a 2 x 2 ) − a 2 y 2 = a 2 c 2 − a 4 ; factorizando: x 2 (c 2 − a 2 ) − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 ) ; por la relación entre a, b y c:

(

)

2

c 2 = a 2 + b 2 ⇒ b 2 = c 2 − a 2 ;sustituyendo:
x 2 b 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 ; dividiendo todo por a²b²: x 2b 2 a 2 y 2 a 2b 2 − = ; simplificando: a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2 x2 y2 − =1 a2 b2 B) Eje real paralelo al eje Y. De forma similar es posible llegar a la ecuación cuando el eje real es vertical (paralelo al eje Y) y se deja como ejercicio al alumno. En este caso la ecuación resultante deberá ser:

y2 a2



x2 b2

=1

4 Ecuaciones de las asíntotas: De la figura 1, se observa que las asíntotas, además de pasar por el origen, pasan por los vértices del rectángulo formado por las distancias entre los vértices y las distancias entre los extremos del eje imaginario, dos de estos vértices son los que tienen coordenadas (a, b) y (−a, b). Dado que se conocen dos puntos por donde pasa la asíntota, se puede utilizar laecuación dos puntos vista en la unidad II: y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) . x2 − x1

Sustituyendo las coordenadas del centro (0, 0), y del vértice (a, b), se tiene:

y−0=

b−0 b ( x − 0) , simplificando: y = x a a−0

Para la otra asíntota, las coordenadas que se van a sustituir en la ecuación son las del centro (0, 0) y las del otro vértice (−a, b), por lo que se tiene:

y−0=

b−0 b...
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