Cinta de mobius

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DESCUBRIMIENTO DE LA CINTA DE MöBIUS

Moebius realizó el descubrimiento de la cinta en 1858 y aunque el nombre de banda de Moebius está universalizado, otro matemático, Listing lo precedió unos meses (julio de 1858). Se trataba de J. N Listing, quien estaba trabajando sobre la fórmula de Euler cuando descubrió la idea. Su trabajo incluyó resultados sobre giros, semigiros, cortes, divisiones ylongitudes y lo publicó en 1861 mientras que el de Moebius no fue publicado hasta 1869, un año después de su muerte.

La banda de Möbius recibió su nombre por el matemático alemán August Ferdinand Möbius, que fue un pionero de la topología a principios del siglo XIX. August Ferdinand Moebius (o Möbius, 1790-1868) fue un matemático y astrónomo alemán, profesor de la Universidad de Leipzig ydirector de su observatorio astronómico. Sus aportaciones científicas fueron muy importantes en su época siendo muy apreciados sus libros Cálculo del baricentro, Principios de Astronomía, y Manual de Estática. En Astronomía describió el cálculo de la ocultación de las estrellas por los planetas. En Geometría analítica fue el introductor de las coordenadas homogéneas e investigó las transformacionesproyectivas. Pero su nombre quedó ligado históricamente a sus estudios topológicos. Así, antes de que Francis Guthrie hubiera presentado el problema de los cuatro colores para colorear mapas, en 1840 Moebius había planteado lo siguiente: «Hubo una vez un rey que tenía cinco hijos. En su testamento estipuló que a su muerte, el reino habría de dividirse por sus hijos en cinco regiones, de tal forma quecada región tuviese una frontera común con cada una de las otras cuatro. ¿Es posible cumplir con los términos del testamento?». La respuesta es negativa y fácil de demostrar, pero ilustra el interés de Moebius en las ideas topológicas, un área en la cual se le recuerda mucho como pionero.

La banda de Moebius no es solo una curiosidad topológica. En 1923 ya se obtuvo una patente norteamericanapara una película de esta forma, en la que podrían registrarse ambas caras. La idea se ha aplicado a cintas magnetofonías, con lo que la cinta puede funcionar el doble de tiempo que lo que estaría otra normal.

Otras patentes cubren aplicaciones diversas: cintas transportadoras que sufren igual desgaste por ambos lados, bandas abrasivas, o un filtro auto limpiante destinado a maquinas de limpiezaen seco, que por tener la forma de banda de Mobius facilita el lavado por ambas caras tras sociedad depositada en el filtro al ir este dando vueltas.

LA CINTA DE MöBIUS Y LAS MATEMATICAS

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La banda de Möbius posee las siguientes caracteristicas
• Tiene sólo una cara:
Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando porla "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior (véase en la imagen).
• Tiene sólo un borde:
Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un borde.
• Estasuperficie no es orientable:
Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.
• Otras propiedades:
Si se corta unacinta de Möbius a lo largo, a diferencia de una cinta normal, no se obtienen dos bandas, sino una banda más larga pero con dos vueltas. Si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.
Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en...
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