Circuito rc no lineal

Análisis de un circuito RC con resistencia no lineal
Joaquín Castro Zini1, Lucas Provenzano1 & Emilio F. Restelli1
(1) Facultad de Ingeniería, Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Favaloro. joaquin_882@hotmail.com, lucasprovenzano@hotmail.com, emiliofrestelli@gmail.com

RESUMEN: Se estudia la carga de un condensador en serie con una resistencia que no responde a la ley de Ohm (filamentode una lámpara incandescente). PALABRAS CLAVES: Circuito RC, resistencia no óhmica. 1 INTRODUCCIÓN El objetivo de este trabajo es estudiar en forma detallada el proceso de carga de un condensador en un circuito RC serie, en el caso en que el resistor no presenta comportamiento óhmico. Para ello usamos como resistencia del circuito el filamento de una lamparita incandescente, cuya resistenciaaumenta a medida que aumenta la intensidad de la corriente. [2] La resistencia de un alambre como el filamento de la lamparita, de sección uniforme A y longitud L, está dada por: [1]

Un circuito conformado por un condensador y un resistor conectados en serie se conoce como circuito RC serie. Cuando el circuito se cierra con una fuente de voltaje, el condensador se carga hasta que alcanza un valormáximo, al que llega asintóticamente. Durante el proceso de carga, la corriente en el circuito tiende a cero de la misma manera Es usual analizar al circuito RC cuando el resistor tiene comportamiento óhmico. En este caso, durante la carga, la diferencia de potencial v(t) en el condensador está dada por:[1]

R=

ρ L
A

(6)

v(t ) = V0 (1 − e −t / RC ) ,

(1)

donde V0 es el voltaje de lafuente. La corriente varía en el tiempo desde el valor inicial máximo I0 = V0/R hasta cero según:

i (t ) =

dq = I 0 e −t / RC . dt

(2)

Después de un tiempo igual a RC, la corriente disminuye a 1/e de su valor inicial, y el voltaje alcanza el 63% de su valor final V0. El producto RC caracteriza la rapidez de carga del condensador y se conoce como constante de tiempo τ:

donde ρ es laresistividad del material. A medida que se incrementa la corriente por la lamparita, la temperatura del filamento aumenta, por lo que aumenta la resistividad dependiente de la temperatura. Además, se da el proceso de expansión térmica, lo que modifica la longitud y área del filamento. Como una consecuencia global del aumento de la temperatura, la resistencia del circuito también aumenta.[3, 4, 5]Por la primera ley de Kirchoff, el voltaje en un circuito RC como el estudiado en todo instante es igual a las caídas de potencial en la resistencia y en el condensador: [1]

τ = RC .

(3)

ε = iR +

Luego de un tiempo, el sistema alcanza un estado estacionario y el voltaje en el condensador alcanza asintóticamente su valor máximo. Este tiempo suele llamarse tiempo de establecimiento delsistema te , que en la práctica se estima como

q C

(8)

donde q es la carga del condensador e i la corriente del circuito. La expresión diferencial respecto del tiempo de la ecuación (8) es:

t e = 5τ .

0=

(5)

di dR 1 dq R+ i+ , dt dt C dt

(9)

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2009

que tiene en cuenta la variación de R. Teniendo en cuenta que

la corriente permitidapor la lamparita (imáx = 0,3 A).

i=

dq , dt

(10)

y que en el caso no-óhmico R depende de la corriente:

dR dR di = , dt di dt
la ecuación (9) se puede reescribir como

(11)

di 1 =− dt C

i dR R+i di

.

(12)

Figura 1. Circuito RC serie que utiliza una lámpara como resistor.

La ecuación (12) puede ser resuelta numéricamente usando el método de Euler. Si sediscretiza la ecuación se obtiene:

in +1 − in i =− n t n +1 − t n C

1 dR Rn + i n di
n

.

(13)

Aquí, n hace referencia al enésimo paso en el tiempo. Si la corriente in en el paso n es conocida, se puede escribir la corriente en el siguiente paso de la siguiente forma:

El procedimiento experimental consiste, primero, en encender la lámpara sin que la corriente pase por el circuito RC....