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La Integral Definida: área bajo la curva entre dos puntos dados. Se utiliza un procedimiento diferente al de aproximaciones sucesivas de rectángulos, usualmente empleado; contiene al de integración por medio de trapecios y es consecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de áreas de polígonos.
Para su comprensión es conveniente la consulta del artículo: Área de los Polígonos- enfoque parael cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza la fórmula general de cálculo propuesta en el mencionado trabajo. No obstante, en forma rápida, introduciremos la fórmula para el caso de figuras de tres y cuatro lados.
Fórmula para el cálculo de áreas de figuras de tres o cuatro lados:
Si tenemos un conjunto de figuras de tres o cuatro lados con la misma altura (h), entoncespueden ser ubicadas entre dos rectas (ra y rb) paralelas entre si, como se observa en la ilustración:
Para calcular el área total, basta sumar las longitudes de los lados que se posan sobre las rectas, multiplicar por la altura común y dividir entre dos (2).
En particular, el área de cualquiera de estas figuras se puede calcular mediante el procedimiento descrito. Nótese que los triángulos tienen unlado de longitud nula sobre una de las rectas.
Denotando con S (rarb) a la sumatoria de los lados que se posan sobre las rectas paralelas y d (rarb) a la distancia entre éstas últimas, la fórmula puede expresarse de la siguiente manera: A=½ S (rarb) d (rarb). Los lados en las rectas definirán en cada una ellas un segmento que denominaremos: segmento delimitador en el haz paralelo de rectas ra yrb, respecto a la figura dada.
Visión preliminar: área bajo la recta.
Sea el gráfico de la función f(x) = mx+c
Tomemos sobre el eje de las abscisas dos puntos a y b tales que el signo de f(x) sea el mismo para toda a<x<b. A partir de tales puntos, levantemos las rectas ra y rb, perpendiculares al eje x, como se muestra en la figura.
La gráfica de la función, las rectas ra y rb y el ejex, definen un trapecio de área: A=½ S (rarb) d (rarb); que denominaremos: área bajo la función f(x) = mx+c definida por los puntos a y b.
La longitud del delimitador en ra es f(a) = ma+c; el delimitador en rb tiene longitud f (b) = mb+c y la distancia entre ra y rb) es d (rarb)= b-a.
De aquí que el área de la figura sombreada sea:
A=½ S (rarb) d (rarb) =½ (f(a) + f (b)) (b-a).
Sustituyendovalores y transformando convenientemente:
A=½ (ma+c + mb+c)(b-a) =½(m(a+b) +2c)(b-a) =
=½m(a+b)(b-a) + c(b-a) =½m(b2-a2) +bc- ac =
=½ mb2 - ½ ma2 + bc - ac =(½ mb2 + bc) -( ½ ma2 + ac).
Es decir A= (½ mb2 + bc) -(½ ma2 + ac).
Si observamos que la integral indefinida de la función f(x)dx es
(mx+c) = ½ mx2 + xc + C, podemos concluir que el área no es más que una función primitiva de f(x) evaluadaen el punto x =
b, menos su valor para el punto x=a.
Denotando con F(x) a la primitiva de f(x), tendremos:
A= F(b) - F(a), o que se denota con f(x)dx y se denomina integral definida de f(x) limitada por a y b.
Obsérvese que la constante C de la función primitiva se anula al realizar la diferencia de los valores en b y a.
Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva:Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se han trazado los segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de área A. Desplacemos el segmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el punto N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se muestra en la figura
De esta manera la superficie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N, quedenominaremos D S, cuya área la denotaremos con D A (se ha exagerado el desplazamiento para lograr mayor comprensión)
Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con D x, al ser éste un infinitésimo podemos considerar que el segmento M1N1 está sobre una recta y puede aplicar la fórmula A=½ S(rarb) d(rarb). Por lo que:
D A =½(f(x) + f(x+D x)) D x, y dividiendo por D x se...
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