Circulo de mohr

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Circulo de Mohr de esfuerzos.
Un análisis cuidadoso de las ecuaciones 11-1 y 11-2 muestran que representan un circulo escrito en forma paramétrica. Se ve más claro que representan un círculo reescribiéndolas primero como:

Luego, elevándolas al cuadrado, sumándolas y simplificando, se tiene:

En todo problema dado, σx, σy y τxy son las tres constantes conocidas y σx’ y τxy’ son lasvariables. Por consiguiente, la ecuación 11-14 puede escribirse en forma más compactada como:

Donde a=σx+σy2y b2=σx-σy22+τxy2 son constantes.
Esta ecuación es la conocida como la expresión de la geometría analítica, x-a2+y2=b2, para un círculo de radio b con centro en (+a,0). Por consiguiente, si se grafica un circulo que se satisfaga esta ecuación, los valores simultáneos de un punto (x,y)sobre este círculo corresponden a σx’ y τx’y’ para una orientación particular de un plano inclinado. La ordenada de un punto sobre el circulo es el esfuerzo cortante τx’y’; la abscisa es el esfuerzo normal σx’. El circulo así construido se llama circulo de esfuerzos o circulo de Mohr para esfuerzos.
Un circulo de Mohr para los esfuerzos dados en la figura 11-8(a) esta graficado en la figura11-8(c) con σ y τ como ejes coordenados. El centro C en (a,O) y el radio del circulo es R=b.
Por lo tanto,

Las coordenadas para el punto A sobre el círculo corresponden a los esfuerzos en la figura 11-8(a) sobre la cara derecha del elemento. Para esta cara del elemento, θ=0° ( es decir, los ejes xy y x’y’ coinciden),σx'=σx y τx'y'=τxy. Las direcciones positivas para esos esfuerzoscoinciden con las direcciones positivas de los ejes. Como AD/CD=τxyσx-σy2 , de acuerdo con la ecuación 11-6, el ángulo ACD es igual a 2θ1. Las coordenadas par el punto conjugado B corresponden a los esfuerzos en la figura 11-8(a) sobre la cara superior del elemento. Esto se sigue de las ecuaciones 11-1 y 11-2 como θ=90° o, para σy', de la ecuación 11-3 con θ=0°.
El mismo razonamiento se aplica acualquier otra orientación de un elemento, tal como el mostrado en la figura 11-8(b). Un par de puntos conjugados J y K puede siempre encontrarse sobre el circulo para dar los esfuerzos correspondientes, figura 11-8(c). Un número finito de posibles estados de esfuerzo dependientes del ángulo θ están definidos por el círculo de esfuerzos. Por tanto, pueden hacerse las siguientes importantesobservaciones relativas al estado de esfuerzo en un punto con base en el círculo de Mohr:
1. El esfuerzo normal máximo posible esσ1' ; el mínimo es σ2. Ningún esfuerzo cortante existe junto con cualquiera de esos esfuerzos principales.

2. El esfuerzo cortante máximo τmax es numéricamente igual al radio del circulo, es decir igual a (σ1-σ2)/2. Un esfuerzo normal igual a (σ1+σ2)/2 actúa sobrecada uno de los planos de esfuerzo cortante máximo.
3. Si σ1=σ2, el circulo de Mohr degenera en un punto, por lo que ningún esfuerzo cortante se desarrolla en absoluto en el plano xy.

4. Si σx+σy=0, el centro del circulo de Mohr coincide con el origen de las coordenadas στ y entonces existe el estado de cortante puro.
5. La suma de los esfuerzos normales sobre dos planos mutuamenteperpendiculares cualquiera es invariable; es decir:

Construcción de círculos de Mohr para la transformación de esfuerzos.
La representación grafica de las transformaciones del esfuerzo usando un círculo de Mohr ofrece una vista de conjunto de una solución y es útil en algunas aplicaciones.
Método I. El problema básico consiste en construir el circulo de esfuerzos para los esfuerzos dados σx, σyy τxy , como el mostrado en la figura 11-9(a0, y luego determinar el estado de esfuerzo sobre un plano arbitrario a-a.
De acuerdo con la ecuación 11-16, el centro C de un circulo de esfuerzos de Mohr se localiza sobre el eje σ a una distancia (σx+σy)/2 del origen. El punto A sobre el circulo tiene las coordenadas (σx y τxy) correspondientes a los esfuerzos que actúan sobre la cara...
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