Circunferencia

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GUIA DE EJERCICIOS RESUELTOS GEOMETRIA ANALITICA PROF: PAOLA BARILE M. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS , DIVISION DE UN TRAZO y LUGAR GEOMETRICO 1.- Un punto P(x,y) se mueve de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (-2,0) y (2,0) es 26 unidades. Demuestre que la ecuación resultante es x2 + y2 = 9. Respuesta:
( ( x + 2) 2 + ( y + 0) 2 ) 2 + ( ( x − 2) 2 + ( y − 0) 2 ) 2 = 26( x + 2) 2 + y 2 + ( x − 2) 2 + y 2 = 26

2 x 2 + 2 y 2 = 18

x2 + y2 = 9

2.- Sean los puntos P(x,y), A(1,0) y B(-1,0). El punto P describe un lugar geométrico sujeto a la condición PA + PB = 4, con PA y PB distancias: a) Demuestra que la ecuación representativa del lugar geométrico es: 3x2 + 4y2 = 12. b) Grafique 3x2 + 4y2 = 12, indicando centro y vértices. Respuesta: PA= ( x + 1) 2 +y 2

y

PB = ( x − 1) 2 + y 2

Entonces PA +PB = 4 PA = 4 - PB /( ) 2 2 (PA) = 16 - 8PB +( PB) 2
( x + 1) 2 + y 2 = 16 − 8 ( x − 1) 2 + y 2 + ( x − 1) 2 + y 2 x 2 + 2 x + 1 = 16 − 8 ( x − 1) 2 + y 2 + x 2 − 2 x + 1 4 x − 16 = −8 ( x − 1) 2 + y 2
x 2 − 8 x + 16 = 4( x 2 − 2 x + 1 + y 2 ) x 2 − 8 x + 16 = 4 x 2 − 8 x + 4 y 2 3x 2 + 4 y = 12

/(

)2



3.-Determine los puntos P y Qque dividen al trazo AB en tres partes iguales, siendo A = (2, -6 ) y B = ( 5, 3 ). Respuesta: A P Q B

AP 1 = =λ PB 2
1 1 3 6 λx2 + x1 2 5 + 2 y = 2 =3⇒ x = = = 3 → P(3,−3) 3 3 1+ λ 2 2

AQ 6−6 2⋅5 + 2 =2⇒ y= =0⇒ x= = 4 → Q(4,0) 3 QB 3 2
RECTA 1.- En el plano cartesiano determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,3) y que es paralela a la recta de ecuación 3x – 2y + 6 = 0Respuesta:

3x − 2 y + 6 = 0 ⇔ y =

3 3 x+3⇒ m = . 2 2

Luego la ec.de la recta que es paralela a ésta y que pasa por el punto ( 1,3 ) es:

y −3 =

3 3 3 ( x − 1) ⇔ y = x + 2 2 2

2,.- Considere la recta L: hx + (h - 1)y - 18 = 0 con h ∈IR. a)Determine el valor de h tal que L sea paralela a la recta de ecuación 3x - 2y - 11 =0 b)Calcule h para que el centro de la circunferencia deecuación pertenezca a la recta L. Respuesta: a) L y la recta 3x - 2y - 11 = 0 son paralelas si tienen igual pendiente pendiente de L = − x2-8x+y2 -20y +112=0

h 3 , pendiente de la otra recta = h −1 2

hasta aquí 3,0 puntos



h 3 = h −1 2



h=

3 5

parte final 4,0 puntos

b)

x 2 − 8 x + y 2 − 20 y + 112 = 0
Centro de la circunferencia es (4, 10) Para que (4, 10)∈ L debe ser Locual ocurre si 14 h =28 ⇔



( x − 4) 2 + ( y − 10) 2 = 4
Hasta aquí 4,0 puntos

4h + 10( h - 1) - 18 =0 h=2

3.- Encuentre el valor de k, de modo que la recta 3kx + 5 y + (k − 2) = 0 pase por el punto ( -1, 4 ). Respuesta: Si la recta 3kx + 5 y + (k − 2) = 0 pasa por ( -1 , 4 ) , entonces este punto satisface su ecuación. Luego se tiene :

3k (−1) + 5 ⋅ 4 + k − 2 = 0 ⇔ −2k + 18 = 0 ⇔k = 9
4.-Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 5, -3 ) y es perpendicular a la recta 3y − 2x + 6 = 0 . Respuesta:

y=

2 3 x − 2 ⇒ m⊥ = − 3 2

Luego la ecuación de la recta es:

3 3 9 y + 3 = − ( x − 5) ⇒ y = − x + 2 2 2
5.-Sabiendo que el punto Q( 9 , 2 ) divide al segmento que determinan los puntos P ( 6 , 8 ) y A ( x , y ) en la razón a) b)

PQ 3 : = QA 7Hallar las coordenadas de A Determinar la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular al segmento PA.

Respuesta:

a)



3 3⎞ ⎛ 8+ y ⎟ ⎜6+ x 7 , 7 ⎟ ⇒ ( 9 ,2 ) = ⎛ 42 + 3 x , 56 + 3 y ⎞ (9, 2) =⎜ ⎜ ⎟ 3 ⎟ 10 ⎠ ⎜ 1+ 3 ⎝ 10 1+ ⎟ ⎜ 7 7 ⎠ ⎝ 42 + 3 x 56 + 3 y ∧ 9= 2= 10 10 90 − 42 = 3 x ∧ 20 − 56 = 3 y ∧ −36 = 3 y 48 = 3 x ∧ x = 16 y = − 12


b)

A (16 , − 12 )

mPA = m( 6,8)(16 , −12 )

=

− 12 − 8 1 = − 2 ⇒ mL = 16 − 6 2

∴ Dado la ecuación punto pendiente se tiene L : y + 12 =

Es decir la ecuación pedida está dada por

1 (x − 16) 2 L : X − 2Y − 40 = 0

CONICAS 1.- Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice este sobre la recta de ecuación 2 y − 3 x = 0 , que su eje sea paralelo al de coordenadas x y que pase por los puntos (3,5) y (3,−1)...
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