Claculo diferencial en electronica

Calculo diferencial en la electrónica

Pues el cálculo integral es una herramienta que usa mucho un ingeniero en electrónica, ya que los circuitos eléctricos basan su comportamiento en funciones matemáticas, aunque no lo creas, buena, esto se expresa en función de ecuaciones diferenciales, las cuales debes de integrar para encontrar constantes de integración, y encontrar valores de cargas,resistencias, y muchas otras cosas...

Tambien en el analisis de señales se utiliza, ya que las señales actúan de forma periódica, como las funciones seno y coseno, de la misma forma debes utilizar ecuaciones diferenciales (series de fourier, transformadas de laplace y de fourier, entre otras cosas son ecuaciones diferenciales).



ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS



Una función z =f(x,y) se llama HOMOGENEA DE GRADO “n” si al multiplicar ambas variables por “t” la función queda multiplicada por tn o sea: z = f(t . x; t . y) = t n . f(x,y)

Las funciones f(x,y) = x3 + x .y² ; g(x,y) =1/ (x+y) son homogéneas de grado 3 y -1

Toda función del cociente y/x es homogénea de grado cero en x e y

DEFINICIÓN

Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado se llamaHOMOGENEA en x e y si se puede llevar a la forma con segundo miembro función de y/x ó sea función homogénea de grado cero en x e y.

Esta ecuación se puede transformar en otra de variables separables haciendo la siguiente sustitución:

y / x= v ⇒ y =v.x que pueden separarse las variables integrando ambos miembros será:

haciendo C = - ln C ⇒H(v) = ln x - ln C = ln (x/C) luegox /C=eH(v)∴ x = C . eH(v) = C . eH (y/x) a veces se podrá despejar y como función de x, o bien, x como función de y.

Ejemplo

La ecuación dy/dx = (y² - x²)/2.x.y es homogénea, pues el segundo miembro es cociente de dos expresiones homogéneas de igual grado:

separando variables integrando: ⇒ ln (1 + v²) = - ln x + ln k ⇒ ln ( 1 + v²) = ln k/x ⇒ k /x =1 + y²/x²∴ y²+x²=k.x que representa un haz de circunferencias.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES



Una ecuación diferencial se llama LINEAL si es de primer grado en la variable dependiente, como así también en sus derivadas. Si además es de primer orden, puede escribirse en la forma:

dy/dx + P(x) . y = Q(x) (1)

En esta ecuación no es posible, en general, separar las variables. Encambio, ello puede hacerse en la ECUACION LINEAL INCOMPLETA (u homogénea en y e y′) que resulta de reemplazar Q(x) por cero luego: dy /dx + P(x) . y = 0

Sea u = u(x) una solución particular de la ecuación incompleta, es decir, tal que verifique du/dx +P(x).u=0

Separando variables: du/u=- P(x).dx integrando

Haciendo y = u .v (sustitución de LAGRANGE) siendo u la solución ya hallada de laecuación incompleta y determinado el valor de v, de modo que sea solución de la ecuación completa, será: y = u . v reemplazando dy/dx e y en (1) será:

u . dv/dx + v . du/dx + P(x).u .v = Q(x) luego u .dv /dx + v.(du/dx + P(x) . u)= Q(x)

pero la expresión entre paréntesis se anula, por ser una solución de la ecuación incompleta luego: u . dv/dx = Q(x) ∴u . dv = Q(x) . dxv = ∫ Q(x).e∫P(x).dx . dx + C

luego reemplazamos los valores de u y v tenemos

Ejemplo

Sea la ecuación dy/dx -y = x (a) En este ejemplo P = 1 ; Q = x. Consideraremos la ecuación incompleta: dy/dx -y = 0 du/dx-u = 0 du = - u . dx ∴

ln u = - x + C que podemos considerar C=0 u = e-X (solución particular) haciendo y=u . v

dy / dx = u . (dv /dx) + v . (du /dx)reemplazando en (a) u . (dv/dx) + v . (du/dx) + u . v = x luego u . (dv/dx) + v.( (du/dx) +u )= x du/dx +u= 0 u . dv/dx = x ∴dv = x/u . dx = x/ e- x. dx

dv = x . e x . dx integrando ∫dv = ∫ x . ex . dx ∴ v = ∫ x . ex . dx + C reemplazando u y v por los valores obtenidos será: y = e-x [ ∫ x . ex . dx + C] ⇒ ∫ x . ex . dx = ex (x - 1) + C

y = e-x [ ex (x - 1) +...