Clase

N´meros Reales u Axiomas de Cuerpo Propiedades relativas a la igualdad en R

Axiomas de Cuerpo en los Reales
Marcelo Leseigneur Cristian Hern´ndez a V´ ıctor Verdugo

C´lculo 1 - 2011 a

Marcelo Leseigneur Cristian Hern´ndez V´ a ıctor Verdugo

Axiomas de Cuerpo en los Reales

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Contenido

1

N´merosReales u

2

Axiomas de Cuerpo

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Propiedades relativas a la igualdad en R

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El conjunto de los n´meros reales, denotado por R, es un conjunto al u cual a sus elementos los llamaremos n´meros reales, y que se dota de udos operaciones llamadas suma o adici´n y multiplicaci´n o producto. o o Existe una gran cantidad de propiedades asociadas a los n´meros reales, u sin embargo, se pueden distinguir tres grupos principales: un primer grupo asociado a propiedades de la igualdad y ecuaciones, un segundo grupo en torno a la desigualdad e inecuaciones, y un tercer grupo de propiedades que son las que marcan ladiferencia entre los racionales y los reales.

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N´meros Reales u

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Axiomas de Cuerpo

3

Propiedades relativas a la igualdad en R

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Los axiomas de cuerpo son aquellos que tratan sobre la igualdad en los n´meros reales. Son en total cinco, y a continuaci´n enunciamos los dos u o primeros: Definici´n 2.1 (Axioma 1 o Conmutatividad) o Dados dos reales x, y , su suma es un real y es independiente del orden en que se usen los dossumandos, es decir: (∀ x, y ∈ R) x + y = y + x Dados dos reales x, y , su producto es un real y es independiente del orden en que se haga el producto, es decir: (∀ x, y ∈ R) x · y = y · x

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Definici´n 2.2 (Axioma 2 oAsociatividad) o (∀ x, y , z ∈ R) x + (y + z) = (x + y ) + z (∀ x, y , z ∈ R) x · (y · z) = (x · y ) · z Dabe notar que el Axioma 2 o de Asociatividad no dice que x + (y + z) = (x + z) + y . Sin embargo, se puede probar la veracidad de esto ´ltimo haciendo un uso apropiado de los dos axiomas anteriores. u En efecto:

x + (y + z) =

x + (z + y ) Por el Axioma 1 (conm.) Por el Axioma 2 (asoc.)

= (x +z) + y

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Se concluye que los operandos de una triple suma se pueden reordenar de cualquier forma, sin alterar el resultado. Es por esta raz´n, que en o general, cuando hay varios sumandos no se usan los par´ntesis, a no sere que sea estrictamente necesario.

Ejercicio 1 Demostrar las siguientes igualdades, usando solo los axiomas 1 y 2: (x + y ) + (z + w ) = (x + w ) + (z + y ) (x + w ) + (z + y ) = (w + y ) + (x + z)

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Definici´n 2.3(Axioma 3 o Distributividad) o (∀ x, y , z ∈ R) x · (y + z) = x · y + x · z (∀ x, y , z ∈ R) (x + y ) · z = x · z + y · z A no ser que sea estrictamente necesario, se omitir´ el signo · en el a producto. En este tercer axioma, la segunda formulaci´n de la o distributividad es m´s bien una consecuencia de la primera formulaci´n y a o los axiomas previos (m´s espec´ a ıficamente, el de conmutatividad del...