clase1 desig triangular

Análisis Matemático I
Nos habia quedado en clase probar la desigualdad triangular. Para ello enunciamos primero una
igualdad muy sencilla de mostrar.
Lema: Si a 2 R; entonces j aj = jaj :Demostración: Si a > 0 entonces a < 0 y por lo tanto, jaj = a = ( a) = j aj : Si a < 0; entonces
a > 0 con lo cual jaj = a = j aj : Si a = 0, entonces a = a y por lo tanto jaj = j aj :
A continuación el resultadoque queríamos mostrar.
Teorema: Si a; b 2 R; entonces ja + bj jaj + jbj :
Demostración: Para mostrar esa desigualdad necesitamos analizar varios casos que permiten concluir
la tesis del teorema.
a)Supongamos que a = 0 o b = 0: Supongamos sin pérdida de generalidad que a = 0: Entonces
ja + bj = j0 + bj = j0j + jbj = jaj + jbj : Razonamiento totalmente idéntico para b = 0:
b) Supongamos ahora quea > 0 y b > 0: Entonces se cumple que jaj = a; jbj = b; a + b > 0 y
ja + bj = a + b: Por lo tanto ja + bj = jaj + jbj :
c) Supongamos ahora que a < 0 y b > 0: Pueden ocurrir tres casos por ley detricotomia:
(c1) a + b = 0, con lo cual ja + bj = 0: Como jaj > 0; jbj > 0 entonces ja + bj = 0 = 0 + 0 < jaj + jbj :
(c2) a + b > 0 con lo cual ja + bj = a + b < 0 + b < jaj + b = jaj + jbj :
(c3) a + b< 0 con lo cual ja + bj = (a + b) = ( a) + ( b) = jaj + ( b) < jaj + 0 < jaj + jbj :
Por lo tanto vemos que se cumple en cualquiera de las situaciones la desigualdad deseada.
d) Supongamos ahora que a> 0 y b < 0: Entonces a < 0 y b > 0: Podemos aplicar el resultado
ya probado en el caso c) y decir j( a) + ( b)j < j aj + j bj : Por el lema hecho al principio resulta que
ja + bj < jaj + jbj :
e)Supongamos ahora que a < 0 y b < 0: Entonces a > 0 y b > 0: Podemos aplicar el resultado
ya probado en el caso b) y decir j( a) + ( b)j = j aj + j bj : Por el lema hecho al principio resulta que
ja + bjjaj + jbj :
Juntando las situaciones analizados de a) hasta e) surge la desigualdad deseada ja + bj jaj + jbj :
Vamos a caracterizar a continuación cuando ocurre la igualdad en la desigualdad...