Cobre

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“Año de la consolidación democrática y social del Perú”

Universidad Nacional de Piura

Facultad de Ingeniería Civil

“Aplicaciones de las Funciones Vectoriales”

Matemática Aplicada II

Prof. Encargada: Mgr. Graciela Burgos Namuche

Integrantes:

Aliaga Aguilera Juan
Carbonel Calle Yajaira Ossmara
Castillo Rangel Alejandro
Cardoza Sandoval Patrick
Jaime Zevallos CarlosIpanaque Zeta Ronald
Sánchez Montero Alberto

Piura, Octubre del 2010

NOCIONES SOBRE FUNCIONES VECTORIALES

Definición: En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

Cuando t varia es posible imaginar que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r(t).

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir elmovimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientesde t.

Aplicaciones Geométricas

1. Longitud de Arco: Supongamos un arco de curva del plano descrito por una función vectorial [pic], [pic], cuyas componentes sean diferenciables y posean derivadas continuas. Supongamos además que dicho arco no pasa dos veces por el mismo punto. Para pequeñas variaciones del parámetro t, el incremento As en la longitud del arco de curvasatisface:

Puesto que:

Y

Resulta

Esto sugiere la siguiente definición:

Sea [pic] una función vectorial inyectiva definida en [pic]
Derivable y con derivada continua en I. Se llama longitud del arco de curva correspondiente a r al número:

En el caso de una curva del plano descrita por una ecuación explicita [pic] [pic], éstapuede ser parametrizada por las ecuaciones

Si f es diferenciable y posee derivada continua en el intervalo [pic] la longitud del arco de curva es

En el espacio de tres dimensiones la longitud de un arco de curva está definida por la fórmula

2. Área de una Superficie de Revolución:

- Giro Alrededor del Eje x: Supongamos un arco de curva en el plano descritopor una función vectorial [pic], [pic] cuyas componentes sean diferenciables y posean derivadas continuas. Supongamos además que dicho arco no pasa dos veces por el mismo punto y que todo él está situado en el semiplano [pic] Al girar dicho arco alrededor del eje x se obtiene una superficie de revolución. Para pequeñas variaciones At del parámetro t, el incremento AS del área de dichasuperficie de revolución satisface

Siendo el incremento en la longitud del arco de curva. Puesto que,

Y

Resulta

Esto sugiere la siguiente definición.

Sea [pic] una función vectorial inyectiva definida en [pic], tal que [pic] para todo [pic] y cuyas componentes son derivables y con derivada continua en I. Se llama área de la superficiede revolución engendrada al girar el arco de curva correspondiente a r alrededor del eje x al número

En el caso de una curva del plano descrita por una ecuación explicita [pic],[pic], ésta puede ser parametrizada por las ecuaciones

Si f es positiva, diferenciable y posee derivada continua en el intervalo [pic] el área de la superficie de revolución engendrada al...
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