cofactores
Ahora se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un determinante y el de cofactor de un elemento.
Se llama menor del elemento de undeterminante D de al determinante de orden que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna j de D.
Ejemplo 1.
Obtener los menores M13 y M21 del determinante D de .
Para M13 vamos a eliminar el renglón 1 y la columna 3
De la misma forma, se elimina el renglón 2 y la columna 1 para tener
Se llama cofactor del elemento del determinante D, al menor con el signo y se denota , esto es:
Ejemplo 2.
Obtenga loscofactores A13 y A21 del determinante D dado:
De acuerdo con la fórmula el cofactor A13 está dado por
Y de la misma formaExpansión por cofactores de un determinante
Se puede probar el siguiente
Teorema
Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna)cualquiera por sus cofactores correspondientes.
Esto es
es el desarrollo del determinante D por el renglón i, y similarmente
esel desarrollo del determinante D por la columna j.
Las expresiones anteriores son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usandoestas fórmulas. No solo la de 3x3
Ejemplo 3.
Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante D.
Para expandir D, por cofactoresdel segundo renglón, calculamos primero los cofactores A21, A22 y A23 de los elementos del segundo renglón.
Entonces
Ejemplo 4.
Desarrollar por...
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