Colinialeidad

MULTICOLINEALIDAD

1) ¿Cuál es la naturaleza de la multicolinealidad?
2) ¿Es multicolinealidad realmente un problema?
3) ¿Cuáles son sus consecuencias teóricas y prácticas?
4) ¿Cómo se detecta?
5) ¿Qué medidas remediales se pueden usar para aliviar el problema de multicolinealidad?

El término multicolinealidad se debe a Ragnar Frisch (1934). Significa la existencia de una relaciónlineal “perfecta” o “exacta” entre dos o más variables explicativas en el modelo. Para una regresión con K-1 variables explicativas, (X1, X2, ..., Xk) donde X1=1 para todas las observaciones (intercepto), existe una relación lineal exacta si

(1X1 + (2X2 + ... + (kXk = 0

donde (1 ,..., (k son constantes y algunas diferentes de cero.

Multicolinealidad no perfecta implica que las variablesX están correlacionadas pero no de manera exacta.

Note que el término multicolinealidad se refiere únicamente a relaciones lineales entre las variables X. Sin embargo, pueden existir relaciones no lineales entre las variables X como se muestra en el siguiente modelo:

Yi = (0 + (1Xi + (2Xi2 + (3Xi3 + Ui
donde:

Y= Costo total de producción
X= Producción

Obviamente que las variables Xi, Xi2 y Xi3 están altamente correlacionadas, pero la relación no es lineal. No obstante, dadas las correlaciones altas entre las variables X, se vuelve difícil estimar los parámetros con precisión.

En casos de multicolinealidad perfecta entre las variables explicativas, no es posible obtener estimaciones de los parámetros, por lo que no se puede hacer inferencia estadística (pruebas dehipótesis). Al intentar estimar un modelo donde existe multicolinealidad perfecta, el paquete econométrico envía un mensaje donde informa que no se puede realizar la estimación. En álgebra de matrices, una matriz que no tiene inversa recibe el nombre de matriz singular.

PROBLEMAS DE ESTIMACIÓN EN LA PRESENCIA DE MULTICOLINEALIDAD PERFECTA

Considere el modelo más sencillo de regresión linealmúltiple:

Yt = B1 + B2X2t + B3X3t + Ut t = 1,2, . . ., T.

El procedimiento de MCO requiere
MIN S(B) = [pic] ((Yt - B1 - B2X2t - B3X3t)2

C.P.O.:

[pic]

Al resolver las ecuaciones normales se obtienen los estimadores de MCO:

[pic]

Con el fin de facilitar la presentación de las fórmulas, todas las variables se expresan en desviaciones con respecto a su propia media. Esto es:[pic]

Se puede demostrar que:

b2 = [pic]

b3 = [pic]

Var (b1) = [pic]

Var (b2) = [pic]

o bien

Var (b2) =[pic]

donde r23 es el coeficiente de correlación muestral entre X2 y X3, el cual se define como:

[pic]

y su cuadrado es:

[pic]
Var (b3) = [pic]

o de manera equivalente,

Var (b3) = [pic]

Cov (b2,b3) = [pic]

[pic]

Con el fin de ilustrar el problemade multicolinealidad perfecta, suponga que [pic]donde λ ( 0. Entonces, [pic].

Es decir, [pic] por lo que los denominadores en b2 y b3 son cero. También los denominadores en var(b2) y var(b3) son cero.

Por lo tanto, [pic] no está definido y cov(b) = σ2(x’x)-1 tampoco está definida.

En resumen, en la presencia de multicolinealidad perfecta, [pic] por lo que (x’x)-1 no existe. Entonces, b= (x’x)-1 x’y no está definido y cov(b) = σ2(x’x)-1 tampoco está definida.
CONSECUENCIAS TEÓRICAS DE MULTICOLINEALIDAD

1. Los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) son insesgados cuando se tiene multicolinealidad casi perfecta. Recuerde que insesgabilidad es una propiedad que tiene lugar en un contexto de muestreo repetido.

2. Multicolinealidad no destruye la propiedad devarianza mínima de los estimadores de MCO. Esto no significa que la varianza del estimador de MCO va a ser pequeña en relación con el valor del estimador.

3. Multicolinealidad es un problema de la muestra. Las variables X pueden no estar linealmente relacionadas en la población pero sí en la muestra.

Consecuencias prácticas de la multicolinealidad

1. Aunque los estimadores de MCO son...