Combinacion lineal

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Introducción

Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección (con sentidos idénticos u opuestos). Esta definición supone que el vector nulo tiene todas lasdirecciones.
Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en elplano generado por estos vectores).
El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generadopor un vector no nulo es la recta vectorial dirigida por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generadopor un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, elespacio generado es de dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...).
En el espacio tridimensional usual:

* u y j son dependientes por tener lamisma dirección (y sentidos opuestos).
* u y v son independientes y definen el plano P.
* u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.
* u, v y k sonindependientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.
* Los vectores o(vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 ·k
Consideremos dos vectores del plano (1,1) y (1,0) si efectuamos la operación 3 (1,3) - 2(1,0) obtenemos elvector (1,3). Obsérvese gráficamente lo que hemos realizado:

Hemos construido el tercer vector efectuando una combinación lineal de los dos primeros vectores.

Combinación Lineal

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