combinaciones y permutaciones

TEMA 1.- COMBINACIONES
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
NO influye el orden en que se colocan.
Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo tantas veces como elementos tenga la agrupación.
Dados n elementos, el número de conjuntos que se pueden formar con ellos, tomados de r en r, se llaman combinaciones.Por ejemplo, sean cuatro elementos {a b,c,d} . Los conjuntos, tomados de tres en tres, que se pueden formar con esos cuatro elementos son:

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} y {b,c,d}

Es decir, en total hay 4 conjuntos diferentes formados con tres elementos. Se dice entonces que existen 4 combinaciones posibles.

Es importante notar la diferencia que existe entre una permutación y una combinación.En la permutación lo que importa es el lugar que ocupa cada elemento, mientras que en la combinación no, sino solamente "los integrantes" del conjunto. Hay que recordar que en un conjunto no importa el orden de los elementos. Por ejemplo, los siguientes conjuntos son iguales por tener los mismos elementos, aunque se hayan escrito en diferente orden:

{b,c,d} = {c,b,d}

En el estudio matemáticode las combinaciones, lo que interesa saber es cuántas son, no cuáles son. A pesar de eso, en el ejemplo anterior, se enlistaron cuáles son para clarificar la idea de lo que significa combinaciones.

Existen 2 tipos de combinación:

Combinación sin repetición: se define como las distintas agrupaciones formadas con P elementos distintos, eligiéndolos de entre los “n” elementos de los quedisponemos, considerando una variación distinta a otra solo difieren en algún elemento.
Combinación con repetición: se define como las distintas agrupaciones formadas con P elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los “n” elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra solo si difieren en algún elemento.

1.1. FÓRMULA PARA LAS COMBINACIONES

La fórmula generalpara calcular las combinaciones que se pueden obtener con n elementos, tomados de r en r, es:




1.2. EJEMPLOS DE COMBINACIONES

Ejemplo 1: ¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles?

Solución: Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en este caso se tiene que
n = 9
r = 6
De manera que:




Ejemplos 2:¿Cuántas comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo de 8 personas, las cuales pueden ocupar todas cualquier puesto?

Solución: Se requiere una sola persona, de entre las 8 disponibles, para ocupar el cargo de presidente, y 3 de entre las siete que restan para ocupar el puesto de vocal. Se trata de un problema de composición, ya que la combinación total (el comité) secompone a su vez de varias subcombinaciones, por lo que, en este caso se tiene que


De manera que:

Hay 280 maneras de formas el comité.
En problemas de composición el resultado final no depende de que se inicie el cálculo con la primera subcombinación o con otra. En el problema anterior, si en vez de iniciar con las combinaciones posibles para presidente se comienza con los vocales, se obtieneel mismo resultado. En efecto,



De manera que:



Ejemplo 3: Un grupo escolar consta de 16 alumnos. Es necesario formar simultáneamente 3 equipos con ellos, uno de 5 alumnos para ir a la Cruz Roja, otro de 3 alumnos para visitar el Hospital y el tercero de 2 alumnos para ir al Banco. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir?

Solución: El primer equipo de 5 alumnos se puede seleccionarde entre los 16 que hay en el grupo escolar; una vez formado ese primer equipo, quedan solamente 11 alumnos de entre los cuales debe integrarse el segundo equipo con tres de ellos; una vez formado ese segundo equipo, quedan solamente 8 alumnos de entre los cuales debe integrarse el tercer equipo con dos de ellos

De manera que:

Nótese que se trata de un problema de composición. A parte...