Combinatoria

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ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS PARA LA ESTADÍSTICA.

COMBINATORIA

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de quedisponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos. Estas formas de realizar agrupaciones son:

I.- Permutaciones:
Al tomar todos los elementos de un conjunto finito y ordenados de todas las formas posibles tendremos todas las permutaciones de esos elementos.

Permutaciones sin repetición:
Se llama permutaciones de n elementos o permutaciones de orden n, a cada una delas ordenaciones diferentes que es posible hacer con n elementos dados.
El número total de permutaciones de orden n lo designamos Pn y se cumple que:
[pic]

Ejemplo: Con las letras de la palabra DISCO ¿cuántas palabras distintas se pueden formar?
Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cincoelementos D, I, S, C, O que no están repetidos.
Por tanto, se pueden formar 120 palabras:   [pic]

Permutaciones con repetición:
En varios casos, algunos de los elementos a permutar aparecen repetidos. Como consecuencia de esto, algunas permutaciones obtenidas son iguales.
En general, las permutaciones diferentes de n elementos dados, entre los cuales hay p elementos iguales entre sí, qelementos iguales entre sí, r elementos iguales entre sí son, en total:

Ejemplo.- ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?
El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas para colocar.
Por tanto,tenemos 1260 modos de colocarlas:   
[pic]

II.- Variaciones o arreglos:

Si disponemos de un determinado número de elementos, elegimos algunos de ellos (o todos) y los colocamos ordenados en una fila, cada una de estas ordenaciones recibe el nombre de variación o arreglo.

Variaciones sin repetición:
En las variaciones interesa qué elementos las forman (naturaleza) ycomo se disponen (ordenan).
Las k ordenaciones que se pueden obtener de n elementos está dada por:

[pic] [pic] [pic]

Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los nueve dígitos distintos de cero?

Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 504números:  [pic]    

Variaciones con repetición:
Si se trata de una variación en la que se repiten los elementos, la cantidad variaciones está dada por:
[pic]

Ejemplos:

1.- ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los nueve dígitos distintos de cero?

Al  tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.
Portanto, se pueden formar 729 números:  [pic]

2.- ¿Cuántas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?
Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse.
Por tanto, se pueden formar 1024 palabras:  [pic]

Combinaciones:
Se llama combinacionesde orden k, a cada uno de los grupos de k eleemntos que podemos formar, elegidos entre n elementos dados, de modo que solo interesa su naturaleza y no el orden en que se dispongan.

La cantidad de combinaciones que se pueden realizar con k elementos de n, está dada por la siguiente fórmula:

Ejemplo: Cuántos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de un curso. (Un...
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