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Publicado: 17 de abril de 2012
CINEMÁTICA
La Cinemática es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, prescindiendo de las causas que lo producen. El objetivo de la cinemática es averiguar en cualquier instante la posición que ocupa el cuerpo, su velocidad y su aceleración.
Cinemática del punto
Si el cuerpo es un punto material que se mueve sobre una curva, y en un instante t se encuentra en unpunto M , se define: Vector posición, al vector que define la posición del móvil puntual
OM = r ( t ) = x ( t )i + y ( t ) j + z ( t ) k , siendo O el origen de coordenadas del sistema de
referencia elegido. Es un vector variable en el tiempo y la curva que describe su extremo M se llama trayectoria. Vector velocidad, al vector que se obtiene al derivar el vector posición r ( t ) respecto altiempo, por tanto sus componentes son las derivadas respecto al tiempo de las componentes del vector de posición. Este vector está localizado en M y coincide con la tangente a la curva. v (t ) = dr ( t ) = x 'i + y ' j + z 'k dt
Su módulo v = ds , es la derivada del arco recorrido s respecto al tiempo, su dirección dt es la de la tangente a la curva en el instante que se considere, por tanto puedeexpresarse como el producto de su módulo por un vector unitario en la dirección de la tangente
v = v ⋅ uT
Vector aceleración, es la derivada del vector velocidad respecto al tiempo. a= dv d 2 r = 2 = x ' 'i + y ' ' j + z ' ' k dt dt
siendo x’’, y”,z” las componentes cartesianas del vector aceleración. El vector aceleración a se puede expresar también en función de sus componentes intrínsecas(una componente en la dirección de la tangente y otra en la dirección normal): a= dv v2 uT + uN dt ρ
El término
dv uT = aT es la aceleración tangencial, que expresa la variación del módulo dt
de velocidad con el tiempo y su dirección es la tangente a la trayectoria. El término v2
ρ
u N = aN es la aceleración normal, que mide la variación de la dirección
de la velocidad con eltiempo, está dirigida siempre según la perpendicular a la trayectoria y hacia el centro de curvatura de la misma.
Clasificación de los movimientos
1. Atendiendo a la forma de la componente normal de la aceleración aN = movimiento se clasifica en: 1.1. Movimiento curvilíneo, si el radio de curvatura depende del tiempo v2
ρ
, el
ρ = ρ (t ) .
1.2. Movimiento rectilíneo, si la aceleraciónnormal es nula, a N = 0 , que implica que el radio de curvatura es infinito). Los dos movimientos anteriores pueden tener lugar en el espacio o en el plano. 2. Atendiendo a la forma de la componente tangencial de la aceleración, aT = el movimiento se clasifica en: 2.1. Movimiento uniforme, si la aceleración tangencial es nula aT = 0 . 2.2. Movimiento variado, si la aceleración tangencial esfunción del tiempo
dv , dt
aT = aT (t ) .
2.3. Movimiento uniformemente variado, si la aceleración tangencial permanece constante aT = cte .
Movimiento circular
Es un movimiento plano, en el que el radio de curvatura permanece constante e igual al radio de la circunferencia que describe el punto móvil. La ecuación de la trayectoria, en paramétricas, es:
x = R cosϕ ⎫ ⎪ y = R sen ϕ ⎬ ⎪ z=0 ⎭siendo R el radio de la circunferencia, y ϕ el ángulo que forma el vector de posición
con el eje OX en cada instante. El vector de posición es r = R cosϕ i + R senϕ j = Ru R . El vector velocidad es v =
dr = − senϕ i + cosϕ j R ⋅ ϕ ' . Como dt
[
]
r = R = cte la
velocidad v es perpendicular a r :v ⋅ r = 0 . El módulo de la velocidad v = R ⋅ ϕ ' , siendo ϕ ' =
dϕ la velocidadangular. dt
El vector velocidad es el momento respecto a la posición en ese instante de la velocidad angular :
v = M M (ϕ )' = ϕ '∧ R = Rϕ ' uT
siendo uT = − senϕ i + cosϕ j El vector aceleración es: a =
dv = aT + aN dt
dv = − Rϕ ' 2 cosϕ i + sen ϕ j + Rϕ " − sen ϕ i + cosϕ j dt
[
]
[
]
Las componentes intrínsecas de la aceleración son : La aceleración tangencial aT = Rϕ...
La Cinemática es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, prescindiendo de las causas que lo producen. El objetivo de la cinemática es averiguar en cualquier instante la posición que ocupa el cuerpo, su velocidad y su aceleración.
Cinemática del punto
Si el cuerpo es un punto material que se mueve sobre una curva, y en un instante t se encuentra en unpunto M , se define: Vector posición, al vector que define la posición del móvil puntual
OM = r ( t ) = x ( t )i + y ( t ) j + z ( t ) k , siendo O el origen de coordenadas del sistema de
referencia elegido. Es un vector variable en el tiempo y la curva que describe su extremo M se llama trayectoria. Vector velocidad, al vector que se obtiene al derivar el vector posición r ( t ) respecto altiempo, por tanto sus componentes son las derivadas respecto al tiempo de las componentes del vector de posición. Este vector está localizado en M y coincide con la tangente a la curva. v (t ) = dr ( t ) = x 'i + y ' j + z 'k dt
Su módulo v = ds , es la derivada del arco recorrido s respecto al tiempo, su dirección dt es la de la tangente a la curva en el instante que se considere, por tanto puedeexpresarse como el producto de su módulo por un vector unitario en la dirección de la tangente
v = v ⋅ uT
Vector aceleración, es la derivada del vector velocidad respecto al tiempo. a= dv d 2 r = 2 = x ' 'i + y ' ' j + z ' ' k dt dt
siendo x’’, y”,z” las componentes cartesianas del vector aceleración. El vector aceleración a se puede expresar también en función de sus componentes intrínsecas(una componente en la dirección de la tangente y otra en la dirección normal): a= dv v2 uT + uN dt ρ
El término
dv uT = aT es la aceleración tangencial, que expresa la variación del módulo dt
de velocidad con el tiempo y su dirección es la tangente a la trayectoria. El término v2
ρ
u N = aN es la aceleración normal, que mide la variación de la dirección
de la velocidad con eltiempo, está dirigida siempre según la perpendicular a la trayectoria y hacia el centro de curvatura de la misma.
Clasificación de los movimientos
1. Atendiendo a la forma de la componente normal de la aceleración aN = movimiento se clasifica en: 1.1. Movimiento curvilíneo, si el radio de curvatura depende del tiempo v2
ρ
, el
ρ = ρ (t ) .
1.2. Movimiento rectilíneo, si la aceleraciónnormal es nula, a N = 0 , que implica que el radio de curvatura es infinito). Los dos movimientos anteriores pueden tener lugar en el espacio o en el plano. 2. Atendiendo a la forma de la componente tangencial de la aceleración, aT = el movimiento se clasifica en: 2.1. Movimiento uniforme, si la aceleración tangencial es nula aT = 0 . 2.2. Movimiento variado, si la aceleración tangencial esfunción del tiempo
dv , dt
aT = aT (t ) .
2.3. Movimiento uniformemente variado, si la aceleración tangencial permanece constante aT = cte .
Movimiento circular
Es un movimiento plano, en el que el radio de curvatura permanece constante e igual al radio de la circunferencia que describe el punto móvil. La ecuación de la trayectoria, en paramétricas, es:
x = R cosϕ ⎫ ⎪ y = R sen ϕ ⎬ ⎪ z=0 ⎭siendo R el radio de la circunferencia, y ϕ el ángulo que forma el vector de posición
con el eje OX en cada instante. El vector de posición es r = R cosϕ i + R senϕ j = Ru R . El vector velocidad es v =
dr = − senϕ i + cosϕ j R ⋅ ϕ ' . Como dt
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]
r = R = cte la
velocidad v es perpendicular a r :v ⋅ r = 0 . El módulo de la velocidad v = R ⋅ ϕ ' , siendo ϕ ' =
dϕ la velocidadangular. dt
El vector velocidad es el momento respecto a la posición en ese instante de la velocidad angular :
v = M M (ϕ )' = ϕ '∧ R = Rϕ ' uT
siendo uT = − senϕ i + cosϕ j El vector aceleración es: a =
dv = aT + aN dt
dv = − Rϕ ' 2 cosϕ i + sen ϕ j + Rϕ " − sen ϕ i + cosϕ j dt
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Las componentes intrínsecas de la aceleración son : La aceleración tangencial aT = Rϕ...
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