Composicion De Funciones

Problema. 57. Sean f(x) = x2 – 2x, y g(x) = x + 3. Encontrar las funciones compuestas (a) (fog)(x), y (b) (gof)(x) y sus dominios. Solución: Tenemos (a) (fog)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x + 3)2 – 2(x+3) = x2 + 6x + 9 – 2x - 6 = x2 + 4x +3. (b) (gof)(x) = g(f(x)) = g(x2 – 2x) = (x2 – 2x) + 3 = x2 – 2x + 3.

ww w.M

ate ma ti

ca

sp d

f1. b

6. Composición de Funciones. Problema. 56. Sif ( x) = x y g(x) = x2 -5, calcular (gof) y su dominio Solución: Tenemos, ( gof )( x) = g ( f ( x)) = g ( x ) = ( x ) 2 − 5 = x − 5 Aunque x-5 está definida para todos los números reales, el dominio de gof no es el conjunto de los números reales. El dominio de g es el conjunto de todos los números reales y su rango el intervalo [-5, +∞), pero la función f ( x) = x sólo está definida para losnúmeros x ≥ 0 y su rango es igual. Así que el dominio de gof es el conjunto de los números reales positivos, es decir, el intervalo (0, +∞). Observa la representación de los dominios de las funciónes f, g, y gof de la derecha y la grafica de las tres funciones abajo.
log sp o t.c om

El dominio de f y de g son los reales, y por lo tanto también de (fog) y de (gof). Observa que las funciones gof yfog no son iguales. Problema. 58. En un cierto lago, el pez róbalo se alimenta del pez pequeño gobio, y el gobio se alimenta de plankton. Supongamos que el tamaño de la población del róbalo es una función f(n) del número n de gobios presentes en el lago, y el número de de gobios es una función g(x) de la cantidad x de plankton en el lago. Exprese el tamaño de la población del róbalo como unafunción de la cantidad de plankton, si f (n) = 50 + n / 150 y g(x) = 4x + 3. Solución: Tenemos que n = g(x). Sustituyendo g(x)por n en f(n), encontramos que el tamaño de la población de róbalos está dado por f ( g ( x)) = 50 + g ( x) 4x + 3 = 50 + 150 150

Problema. 59. Sea f(x) = 4 y g(x) = -2x2 -6x. Calcular: (a) (fog)(x), (b) (gof)(x) y sus dominios. Solución: (a) (fog)(x) = f(g(x)) = f(-2x2 -6x) =4. (b) (gof)(x) = g(f(x)) = g(4) = -2(4)2 – 6(4) = -56. Puesto que el dominio de las funciones f y g son los números reales, el dominio de las funciones fog y gof también son los números reales. Problema. 60. Sean h(x) = -2 y m(x) = 5. Calcular: (a) (hom)(x), y (b) (moh)(x) y sus dominios. Solución: (a) (hom)(x) = h(m(x)) = h(5) = -2 (b) (moh)(x) = m(h(x)) = m(2) = 5 Puesto que el dominio de lasfunciones h y m son los números reales, el dominio de las funciones compuestas hom y moh también son los números reales. Problema. 61. Sean f(x) = x2 -1 y g(x) = x + 2. Calcular: (a) (fog)(-2), (b) (fof)(0), (c) (gof)(3), (d) (gog)(-1). Solución: (a) (fog)(-2) = f(g(-2))= f(-2 +2) = f(0) = (0)2 – 1 = -1 (b) (fof)(0) = f(f(0)) = f( (0)2 – 1) = f(-1)= (-1)2 – 1 = 1-1 = 0 (c) (gof)(3) = g(f(3)) = g((3)2 -1) = g( 9 – 1) = g(8) = 8 + 2 = 10 (d) (gog)(-1) = g(g(-1)) = g(-1 + 2) = g(1) = 1 + 2 = 3 Problema. 62. Si h( x) = 2 x 2 − 1 , entonces f puede ser considerada como una función compuesta gof,

donde f(x) = 2x2 -1 y g ( x) = x , así:
h( x) = g ( f ( x )) = g (2 x 2 − 1) = 2 x 2 − 1 .

Otra forma de considerar h( x) = 2 x 2 − 1 como una función compuesta es considerar las siguientes dosfunciones f(x) = 2x2 y g ( x) = x − 1 , de esta manera:
h( x) = g ( f ( x)) = g (2 x 2 ) = 2 x 2 − 1 .

ww

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df1

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Problema. 63. Sea f(x) = (2x + 3)5 . Encuentre dos funciones f y g tal que F = fog. Solución: Esto se puede hacer de más de una forma, pero la forma más natural es la siguiente: F(x) = 2x + 3 y g(x) = x5Entonces (gof)(x) = g(f(x)) = (2x + 3)5 = F(x) Problema. 64. Un charco circular de agua se está evaporando y disminuye lentamente su tamaño. 18 Después de t minutos, el radio del charco mide pulgadas; en otras palabras, el 2t + 3 radio es una función del tiempo. El área A del charco está dado por A = πr2, es decir, el área es una función del radio r. Podemos expresar el área como una función del...