CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCI N

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN



DEFINICIÓN 
Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa. 



Condiciones analíticas de concavidad y convexidad 
Si en un intervalo (a, b), entonces lafunción f(x) es cóncava en el intervalo (a, b).
Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el intervalo (a, b).


Ejemplo: 

 

 

GRÁFICA
 



 
Criterio de concavidad y convexidad
Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.
Es posible encotrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando elcriterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.
Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1,f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Intervalos de concavidad y convexidad
Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:
f(x) = x3 − 3x+ 2
Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:
 1  Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.
 2  Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
 
 3  Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Sif''(x) > 0 es convexa.
Si f''(x) < 0 es cóncava.
Del intervalo (−∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
f''(−1) = 6 (−1) < 0 Cóncava.
Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.
f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.

 4  Escribimos los intervalos:
Convexidad: (0, ∞)
Concavidad: (−∞, 0)
Ejemplo









Crecimiento y decrecimiento
Las funciones pueden ser crecientes o decrecientes a lo largo de su dominio o enun cierto intervalo.
Decimos que una función f(x) es creciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1 Decimos que una función f(x) es decreciente en intervalo [a,b] ssi dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1 Las funciones que nunca decrecen, siempre aumentan su valor o se mantienen (las funciones crecientes).Análogamente, las funciones decrecientes nunca crecen, siempre disminuyen su valor o se mantienen cuando x se hace grande.
Por otra parte, podemos definir funciones estrictamente crecientes o decrecientes: éstas nunca se mantendrán en un mismo valor: o aumentan o disminuyen.
Decimos que una función f(x) es estrictamente creciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 talque x1 Decimos que una función f(x) es estrictamente decreciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1f(x2).
A continuación podemos ver unos ejemplos:
Ejemplo
Todas las funciones del tipo f(x)=ax+b cuando a>0 son funciones crecientes, y en particular, son funciones estrictamente crecientes. No obstante, cuandotomemos a<0 obtendremos funciones estrictamente decrecientes (y por consiguiente decrecientes).
Ejemplo
La función f(x)=x2 es una función decreciente en el intervalo (−∞,0] y creciente en [0,+∞).
Ejemplo
Las funciones constantes son funciones que a la vez son crecientes y decrecientes (se mantienen constantes).
Máximos y mínimos
Cuando representamos una función podemos ver que a veces aparecen puntos que son...

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