Concepto de limite

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Unidad III: continuidad y límites …6

3 CONCEPTO DE LÍMITE
3.1 INTRODUCCIÓN.
Ya hemos mencionado que el análisis matemático es la rama de de las matemáticas que proporcionan métodos para la investigación cuantitativa de d los distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia de una magnitud respecto de otras. El concepto de límite es fundamental para el cálculo y para todo elanálisis y fue formulado algo más tarde que los otros conceptos fundamentales de variable y función. En los primeros días del análisis el papel que más tarde desempeñaría el límite, corrió a cargo de un concepto algo nebuloso que es el “infinitésimo”. Los métodos esenciales del cálculo: derivación e integración, se basan con la unión del algebra y del concepto de limite.
3.2 DEFINICON DE LÍMITEDEF. 3.3 (DEFINICON INTUTIVA DE LIMITE)
Dada la función f, definida en un intervalo I excepto posiblemente un punto α Є I decimos que el límite de f en α es L si L es el valor con el que nos acercamos con las imágenes cuando nos acercamos a α. es ese caso, escribimos:
limx→αfx=L
limx→αfx=Ld e f x →α fx→L

En la anterior escritura, x→α se lee “x tiende a α”. Es decir,

4. PROPIEDADES DELOS LÍMITES
Por ahora, solo tenemos una definición , pero esa definición no nos dice como hallar el limite. El siguiente teorema nos proporciona un método para calcular limites para una amplia gama de definiciones: las funciones continuas.
TEOR. 3.15(LIMITES DE FUNCIONES CONTINUAS)
La función f es continua en α si y solo si limx→αfx=fα.

El siguiente método nos proporciona un método paracalcular limites de funciones racionales en los puntos donde dichas funciones no son continuas.



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TEOR. 3.16 (INDETERMINACIN 0/0)
Si f y g son funciones tales que fx=fg ∀ x ≠α y limx→αgx=L, entonces
limx→αfx=L.
Este teorema lo podemos aplicar a las funciones racionales en el caso de que limx→αfxP(X)Q(X)=00.Esta situación se dacuando P(α)=Q(α)=0; en este caso aplicando el teorema fundamental del algebra, se puede factorizar tanto el numerador como el denominador. Un factor x→α que al cancelar se elimina la indeterminación.
TEOR. 3.17 (OPERACIONES CON LIMITES)
Dadas f y g tales que limx→αfx=L y limx→αgx=M, entonces:
a) limx→αf∓gx=L∓M. b) limx→αf.gx=L.M.
c) limx→αf/gx=L/M. (si g(x) ≠ 0∀ x y M≠ 0).
(Es decir el límite de una suma es la suma de los límites, el límite de una resta es la resta de lo0s límites, el límite de un producto es el producto de los límites y el límite de una división es la división de los límites)
TEOR. 3.18 (LIMITE DE UNA COMPOSICIÓN)
Si limx→αfx=L y g es continua en L , entonces limx→αf∓gx=gL.
TEOR. 3.19 (UNICIDAD DEL LÍMITE)
Silimx→αfx=L y limx→αfx=M entonces L=M.
TEOR 3.20 (TEOREMA DE ESTRICCCION)
Sean u, v y w funciones tales que ux≤ wx≤ vx. si limx→αux=L y limx→αvx=L, entonces limx→αwx=L.
5. LIMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO.
DEF. 3.4 (VARIABLE AL INFINITO)






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Si el valor de una variable x crece o decrece en continuaciónsin límite, decimos que esa variable TIENDE AL INFINITO. En ese caso, escribimos:
a) Si x crece mucho: x→∞ b) si x decrece mucho: x→-∞
Una forma de definir los conceptos anteriores es la siguiente:
a) x → + ∞ ∀ M>0, x>M b) x → - ∞ ∀ N<0, x<M
Si aplicamos la función anterior a una imagen de una función (es decir, si laimagen de una función crece o decrece continuamente) escribiríamos que f(x) → + ∞ o q ue f(x) → - ∞ según sea el caso podemos entronces hablar de los siguientes limites (vea las graficas siguientes)













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a) limx→+∞fx=L b) limx→-∞fx=L
c) limx→αfx= +∞ d) limx→αfx= -∞
e)...
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