Conceptos teóricos sobre la integral de riemann

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CONCEPTOS TEÓRICOS SOBRE LA INTEGRAL DE RIEMANN
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CONTENIDO:
• Introducción
• Partición de un intervalo
• Suma de Riemann superior e inferior
• Variación de las sumas de Riemann
• Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-Integrables
• Caracterización de las funciones Riemann-Integrables
• Sumas de Riemann
• Tipos deaproximación de la integral
• Funciones Riemann-Integrables
• Teorema Fundamental del Cálculo
• Evaluación de la integral: regla de Barrow
• Integral de Riemann de funciones no positivas
• Propiedades de la integral de Riemann
• Aplicaciones
Introducción
Consideraremos una función real y = f(x) positiva y acotada, definida en el intervalo cerrado [a, b].
Se llama integral definida dela función f(x) 0 entre a y b (los límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b.
Comenzaremos con las definiciones de suma superior y suma inferior de Darboux de una función definida en un intervalo [a,b], asociadas a una partición del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremoscalcular.
Veremos algunas de sus propiedades, en particular las referentes a la relación entre ambas sumas y a su comportamiento cuando se consideran particiones cada vez más finas (que corresponderán a aproximaciones del área cada vez mejores). Estas propiedades nos garantizan la existencia del supremo de las sumas inferiores y del ínfimo de las sumas superiores, siendo estos valores las integralesinferior y superior, respectivamente, de Darboux, en el intervalo [a,b].
Al ser f positiva en [a,b], estos valores nos proporcionan estimaciones, por debajo y por arriba del área encerrada por f en [a,b]. Se dirá que f es integrable Darboux en [a,b] si "ambas aproximaciones coinciden". La integral de Riemann se define de forma ligeramente diferente, a partir de particiones evaluadas. La integralde Riemann y la de Darboux son equivalentes. Debido a este hecho nos referiremos como Integral de Riemann a todas ellas. En este caso se define la integral de f en el intervalo [a,b] como el valor común de las integrales inferior y superior.
Daremos el criterio de integrabilidad de Riemann que nos permite estudiar la integrabilidad de una función sin necesidad de calcular las integrales superiore inferior. Esto nos permite hacer diferentes tipos de aproximación de la integral.
Entre las propiedades fundamentales de la integral veremos la linealidad, la monotonía y la aditividad respecto del intervalo.
Daremos también, uno de los resultados centrales de toda la Matemática, el Teorema Fundamental del Cálculo, que relaciona dos ramas centrales del Análisis: el Cálculo Diferencial y elCálculo Integral. Así mismo, veremos la regla de Barrow que permite calcular la integral de Riemann de una función integrable a partir de una primitiva de la función.
Algunas de las aplicaciones prácticas son el cálculo de límites de algunas sucesiones cuyos términos están formados por sumas con un número creciente de términos, métodos para calcular áreas, longitudes de arcos de curva, áreas yvolúmenes de revolución.
Partición de un intervalo
- Una partición P del intervalo cerrado [a, b] es un conjunto finito de puntos P = { x0, x1, x2, ..., xn} tal que:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b
- La diferencia máxima entre cualesquiera dos puntos consecutivos de la partición, se llama norma de la partición, y se denota por || P || , es decir:
|| P || = max {xj - xj-1 , j = 1 ...n}
- Un refinamiento de la partición P es otra partición P' que contiene todos los puntos de P y además otros puntos adicionales, también ordenados en orden de magnitud.
Suma de Riemann superior e inferior.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
• La suma superior de f respecto de la partición...
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