Conceptos Álgebra Lineal

1.- Espacio vectorial
Un espacio vectorial es una terna (V , +, ·), donde V es un conjunto no vacío y +, · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv,
1. u + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).
2. u + v = v +u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).
3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).
4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto).
5. λ(µv) = (λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa).
6. λ(u + v) = λu + λv y (λ + µ)v = λv + µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva).
7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).

2.- Subespacio vectorial
Sea H un subconjunto novacio de un espacio vectorial V (K ). Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicacion por escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V. En este caso se denota:
H ⊂ H

3.- Combinacion lineal
Un vector  se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores  si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectoresde  multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que:
.
Así,  es combinación lineal de vectores de  si podemos expresar  como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de .
Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir  sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una deestas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto  necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector  en cuestión.

Dependencia lineal
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vectorcero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2. Dos vectores del planoson linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3. Dos vectores libres del plano  = (u1, u2) y  = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Ejemplo
Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores ,  y . escribir  como combinación lineal de  y, siendo k el valor calculado.
Los vectores son linealmente dependientes siel determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Independencia lineal
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Ejemplo1. Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:
 = (2, 3, 1),  = (1, 0, 1),  = (0, 3, −1)
a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado
El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

4.- Base y dimensión de un espacio vectorial
Se llama base de un espacio (osubespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal...