Condensacion matriz de rigidez

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CONDENSACION ESTATICA
INTRODUCCION
La condensación es un método que nos permite reducir la cantidad de incógnitas a determinar en un análisis estructural o el tamaño de la matriz de rigideza invertir.
La condensación se da por igualación de grados de libertad o eliminación de ellos como incógnitas al despreciar deformaciones axiales o también por tener ecuaciones en la matrizde rigidez que estan asociadas a fuerzas externas mas fuerzas de empotramiento iguales a cero.
CONDENSACION MATRIZ DE RIGIDEZ
* En la figura se encuentra la estructura que vamos analizary los grados de libertad de la misma. Estos grados de libertad los vamos a agrupar y darles el nombre de qa

* En esta figura se muestra el grado de libertad que se va eliminar. Estegrado de libertad se va llamar qb

Para la ecuación de equilibrio Q=K.q de la estructura tenemos el vector de cargas Q = QaQb y el vector de los desplazamientos q = qaqb
Reemplazando losdos vectores en la ecuación obtenemos QaQb = KaaKabKbaKbb. qaqb Ec.1
La condensación estatica de la matriz de rigidez se da cuando Qa o Qb son ceros.
* Por inversión

Ahora vamos atrabajar con Qa = 0.
La Ec.1 con Qa = 0, va quedar como 0Qb = KaaKabKbaKbb. qaqb Ec.2

De la primera línea de la Ec.2 despejamos qa = -Kaa-1 * Kab*qb

Reemplazamos la Ec.3 en lasegunda línea de la Ec.2 Qb = (Kbb- Kaa-1 * Kab*Kba)K+* qb

Vamos a llamar K+ a la matriz de rigidez condensada K+ = (Kbb- Kaa-1 * Kab*Kba)

* Por solución de ecuaciones

En estecaso vamos a utilizar Qb = 0

Definimos T = Kbb-1* Kba, multiplicamos Kbb a ambos lados de la ecuación y obtenemos Kbb*T = -Kba

De aquí obtenemos K+ = Kaa + Kab * T

*Mediante eliminación de Gauss

Ahora vamos a trabajar con Qa = 0.

0Qb = KaaKabKbaKbb. qaqb

Por eliminación de Gaus Jordan y realizando otras operaciones obtenemos

0Qb = I-T0K+. qaqb
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