Conduccion De Calor

VII.- CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS FINITOS
VII.1.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL
Los problemas de conducción transitoria estudiados se limitan a configuraciones especiales
como son la placa, el cilindro y esfera, con diversas situaciones de contorno. Estas formas se han
escogido para asegurarnos de que la temperatura del sólido depende sólo de una coordenadaespacial y del tiempo. En ciertas aplicaciones el hecho de despreciar el efecto de borde (que es a
lo que equivalen las simplificaciones anteriores de conducción unidimensional), puede afectar a
los resultados, por lo que en muchos casos prácticos no puede hacerse una simplificación de este
tipo y habrá que considerar la conducción transitoria en función de más de una dimensión espacial.
Bajo ciertascondiciones, la solución de los problemas de conducción transitoria en dos o tres
dimensiones puede obtenerse por superposición de las soluciones de problemas unidimensionales;
aplicando este método de superposición al problema de conducción transitoria en una barra
larga rectangular, cuya sección transversal tiene por dimensiones, A en la dirección de las x, B
en la de las y y ser indefinidaen la dirección de las z, la conducción tendrá sólo lugar en las direcciones
de las x y las y, por lo que se ha reducido el problema a un caso bidimensional y transitorio
por ser las temperaturas variables con el tiempo.
Si se calienta la barra de forma que inicialmente la distribución de temperaturas es, T =
f(x,y), y en el instante, t = 0, la barra entra en contacto con un fluido convector,o con un foco térmico,
a una temperatura, TF = 0, (o a cualquier otra, constante), con un coeficiente de convección
hC constante en todas las superficies, la ecuación diferencial a resolver es:
¶2T
¶x2
+ ¶2T
¶y2
= 1
a
¶T
¶t
VII.-125
con las condiciones de contorno:
Para, t = 0; T = f(x,y)
Para, t > 0 ,
en, x = 0, y en, x = A,
dT
dx = ± hC T
k
en, y = 0, y en, y = B,
dT
dy = ±hC T
k
ì
í
ï
î
ï
Se toma el signo (+) en x = 0 y en, y = 0, y el signo (-) en, x = A y en, y = B.
Si la función de distribución de temperatura inicial, T = f(x,y), es tal que se puede descomponer
en forma de producto de otras dos funciones, cada una de las cuales sólo depende de una de
las variables espaciales independientes, la condición inicial puede sustituirse por:
Para, t = 0, T = f (x,y) = f1 (x) f2 (y)
y si ésto es posible, la solución de la ecuación:
¶2T
¶x2
+ ¶2T
¶y2
= 1
a
¶T
¶t
con las condiciones indicadas, se puede expresar como el producto de dos soluciones transitorias
unidimensionales.
Si representamos la solución que se busca, T(x,y,t), por el producto:
T = Tx (x,t) Ty (y,t)
siendo Tx(x,t) función de x y del tiempo t, y Ty(y,t) función de y yde t.
Al sustituir la ecuación, T = Tx(x,t) Ty(y,t), en la ecuación diferencial de partida se obtiene:
1
a (Ty
¶Tx
¶t
+ Tx
¶Ty
¶t
) = (Ty
¶2Tx
¶x2 + Tx
¶2Ty
¶y 2 )
Ty(
1
a
¶Tx
¶t
-
¶2Tx
¶x2 ) + Tx (
1
a
¶Ty
¶t
-
¶2Ty
¶x2 ) = 0
y las condiciones de contorno e inicial, se transforman en:
Para, t = 0 ; T = Tx Ty = f1(x) f2(y)
Para, t > 0
en, x = 0, y en, x = A, TydTx
dx = ±
hC Tx Ty
k
en, y = 0, y en, y = B, Tx
dTy
dy
= ±
hC Tx Ty
k
ì
í
ïï
î
ï
ï
El examen de las ecuaciones anteriores pone de manifiesto que se satisfacen, si Tx(x,t) y
Ty(y,t), son las soluciones de los dos problemas unidimensionales siguientes:
VII.-126
¶2Tx
¶x2 =
1
a
¶Tx
¶t
Para, t = 0 ; Tx = f1(x)
Para, t > 0
en, x = 0,
dTx
dx =
h C Tx
k
en, y = A,dTx
dx
= -
hC Tx
k
ì
í
ï
î
ï
¶2Ty
¶x2 =
1
a
¶Ty
¶t
Para, t = 0 ; Ty = f2(x)
Para, t > 0
en, y = 0,
dTy
dy =
h C Ty
k
en, y = B,
dTy
dy
= -
hC Ty
k
ì
í
ïï
î
ï
ï
Se observa que la solución del problema de conducción transitoria bidimensional se puede
obtener como el producto de las soluciones de dos problemas unidimensionales, más sencillos, de
las...