congruencia

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile
o
Centro de Alumnos de Ingenier´ 2009
ıa
Preuniversitario de Ingenier´
ıa

Geometr´
ıa
Gu´ No 3
ıa

´
TRIANGULOS
C

Definamos...

 

1.

Un tri´ngulo es una figura plana, cerrada, lia
mitada por 3 trazos llamados lados y que se
intersectan s´lo en sus puntos extremos llao
mados v´rtices (no se cruzan).
e
Ejemplo 1 En el ABC figura,AB, BC y
CA son los lados del tri´ngulo, mientras que
a
A, B y C son sus v´rtices.
e

 

A
 

B

2.

´
Angulos en el tri´ngulo
a
En un tri´ngulo siempre se cumple
a
que:

C

γ

La suma de sus angulos internos
´
es igual a 180o , es decir,

γ

α + β + γ = 180o .
La suma de sus angulos externos
´
o , es decir,
es igual a 360

α

α

A

Cada angulo exteriores igual a la suma de los angulos interiores no
´
´
adyacentes a ´l, es decir,
e
β =α+γ

1

β
B

α + β + γ = 360o .

α = β +γ

β

γ =α+β

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3.

Geometr´
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Gu´ No 3
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Clasificaci´n de tri´ngulos
o
a

Se pueden clasificar seg´ n sus angulos en
u
´1. Acut´ngulo: Tiene sus tres angulos agudos.
a
´
2. Rect´ngulo: Tiene un angulo recto.
a
´
3. Obtus´ngulo: Tiene un angulo obtuso.
a
´
Y tambi´n seg´ n sus lados en
e
u
1. Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida.
2. Is´sceles: Tiene s´lo dos lados de igual medida.
o
o
3. Equil´tero: Tiene sus tres lados de igual medida.
a

Congruencia de tri´ngulos
a

| |
|

R| |

| |

Dos tri´ngulos son congruentes si y s´lo si sus angulos y lados tienen la
a
o
´
misma medida de forma correspondiente, es decir, que uno de los tri´ngulos
a
sea el otro pero girado.
C

AB ∼ P Q
=



BC ∼ QR

=



AC ∼ P R

=

∼ P QR ⇒
ABC =


 ABC ∼ P QR

=



 BAC ∼ QP R

=



ACB ∼ P RQ
=
|
A
BP

| |
|

4.|

Q

Para determinar si dos tri´ngulos son congruentes utilizaremos los siguientes
a
postulados
C

C

1. ALA: Dos tri´ngulos son congruentes si tienen
a
respectivamente iguales un lado y los dos angulos
´
adyacentes a ese lado.
A
2

|

B

A

|

B

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Geometr´
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Gu´ No 3
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C

| ||

| ||

2. LAL: Dos tri´ngulos son congruentes cuando tiea
nen dos lados y el angulo comprendido entre ellos
´
respectivamente iguales.

C

|

A

B

|

A

C

| ||

| ||

B

|

A

C

A

5.

B

| ||

C

| ||

4. LLA> : Dos tri´ngulos son congruentes cuando
a
tienen dos lados y el angulo opuesto al mayor de
´esos lados respectivamente iguales.

||

|

A

C
||

3. LLL: Dos tri´ngulos son congruentes si tienen sus
a
tres lados respectivamente iguales.

B

|

B

|

A

B

Elementos secundarios
C

Altura: es el segmento perpendicular
que va desde un v´rtice al lado opuesto
e
o a su prolongaci´n.
o
Ojo 1 En la figura, H es el ortocentro (punto de intersecci´n de las altuoras).

3

F
E
H

A

D

B

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Geometr´
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Bisectriz: es el trazo que divide al
angulo en dos angulos congruentes.
´
´

C

Ojo 2 En la figura, I = incentro
(punto de intersecci´n de las bisectrio
ces).

E

F
I
α

β
β

α

A

BD

Transversal de gravedad: Es el trazo
que une un vertice con el punto medio
del lado opuesto.

C

+
F

+
|

A

Simetral: Es la recta perpendicular
que pasa por el punto medio de cada
lado del tri´ngulo.
a

|

B

£¤

4

D

C

Ojo 6 En la figura, O = circuncentro (punto de intersecci´n de las sio
metrales).
Ojo 7 El circuncentro, es el centro
de la...