Congruencia

5. APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA

Aplicando la congruencia de triángulos, se demuestra cada uno de los siguientes teoremas.



PROBLEMAS


P-1) En la siguiente figura BQ= 8m, AC = 12m.Si:
M: Es punto medio de AQ.
N: Es punto medio de AB.
J: Es punto medio de BC.
L: Es punto medio de CQ.
Hallar el perímetro del cuadrilátero MNJL.Aplicando la propiedad de los puntos medios:
∆AQB: MN = DQ/2 → MN = 8/2 = 4
ΔABC: NJ = AC/2 → NJ = 12/2 = 6
ΔBQC: JL = BQ/2 → JL = 8/2 = 4
ΔAQC: LM = AC/2 → LM = 12/2 = 6

→ Luego: Perímetro MNJL = MN + NJ + JL + LM = 4 + 6 + 4 + 6 = 20m.


P-2) En la siguiente figura AB = 2CD. Hallar x












6. TRIANGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Los principales sonlos siguientes:

1. Triangulo Notable de 30° y 60°










Cateto opuesto a 30° = hipotenusa/2
Cateto opuesto a 60° = (hipotenusa/2).√3


2. Triangulo Notable de 45° y 45°














Los catetos son congruentes.
Hipotenusa = (cateto)√2
Cateto = hipotenusa/√2

3. Triangulo Notable de 37° y 53°









Cat. Op. a 37° = cat.Op. a 53° = hipotenusa = k
3 4 5



PROBLEMAS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES


P-1) Del grafico, hallar x + y











P-2) En la figura, hallar BC













P-3) En la figura mostrada: Hallar el área del cuadrado ABCD
P-4) En el triangulo mostrado. Hallar BC, si: AC = 16cm.a) 13m. B) 8m. C) 8√2u d) 8√3u e) 4√3u


P-5) AB ≡ PC y BP ≡ PQ, hallar (











P-6) AD ( BC, hallar x (sugerencia: trace DE ( DB, “E” sobre AB)












P-7) Si AC ( BF; AG = 8; GB = 3, hallar BC.











P-8) BM es mediana, BC = 2BM. Hallar x.(sugerencia: unir “M” con el punto medio de BC)P-9) Hallar ED si, AC = 6














P-10) Si x + y = 30, hallar z












P-11) Si AC = 21, hallar BD











P-12) En la figura CD = 10, hallar BC













AREAS Y PERÍMETROS

1. INTRODUCCIÓN: En este capitulo hallaremos puntos como máximo se cortan o intersecan una cierta cantidad de figuras planas.
Con laletra “M” representaremos al “máximo numero de puntos de corte o intersección”.
Ejemplo 1: ¿En cuantos puntos como máximo se cortan 4 rectas secantes?













❑ Sean las rectas secantes L1, L2, L3, L4.
❑ Para que se produzca el máximo numero de corte, cada recta debe cortar a las otras tres.
❑ Del grafico



Ejemplo 2: Hallar el máximo numero de puntos deintersección de 4 circunferencias secantes.















❑ Vemos que cada circunferencia se corta con cada una de las otras tres en dos puntos.
❑ Luego el máximo numero de puntos de corte es,




ATENCIÓN:
Existen ciertas formulas que se deducen aplicando el Análisis Combinatorio, que nos permiten calcular en forma inmediata el máximo numero de puntos de corte ointersección.

2. FORMULAS BASICAS:
4. FORMULA DE COMBINACIÓN
Las formulas de combinación se derivan a partir de la siguiente formula general.








Donde: k = máximo n( de puntos de corte de solo 2 figuras diferentes
n1 = n( de figuras de la primera especien2 = n( de figuras de la segunda especie.


PROBLEMAS


P-1) ¿En cuantos puntos como máximo se cortan 20 rectas secantes?

P-2) Calcular el máximo numero de puntos de corte de 40 circunferencias secantes.

P-3) ¿En cuantos puntos como máximo se cortan 18 cuadriláteros convexos?

P-4) Encontrar el máximo numero de puntos de intersección de 48 pentágonos convexos.

RECUERDA...