Conicas

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Cónica :
Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.
Circunferencia.
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de unpunto fijo llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro

Ecuación analítica de la circunferencia : Puesto que la distanciaentre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x , y)de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que :

pasando la raíz al otro miembro :

desarrollando los términoscuadráticos obtenemos que :
si hacemos D = -2a , E = -2b , F = a2 + b2 - r2 tendremos :
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.
Elipse.
Ecuación analítica de la elipse : Supongamos para simplificar que los focosestán situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :PF + PF' = 2a
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(a2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2)·a2 = 0
a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 (piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la ecuación se puede quedar :
b2x2 + a2y2 = a2b2

dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si laelipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A= b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que lostérminos A y B no tienen porqué ser iguales .
Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se...
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