conicas

Cónicas

Observamos que el punto (1,2) pertenece a la cónica y por lo tanto la polar coincide con la recta tangente en dicho punto.
 
 


La polar del punto (1,1) es la recta

 
  


La polar del punto (3/2, 9/4) es la recta

 

 
Es posible que un punto P=(x0,y0) no tenga polar respecto a una cónica C. Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar elsistema de ecuaciones

que impone que los coeficientes de x e y en la recta polar sean nulos (es decir que no exista dicha recta).
Para que este sistema tenga alguna solución se ha de verificar

Además si det A00 es no nulo, entonces la solución del sistema es única y por lo tanto habría un único punto que no poseerá recta polar. Este punto se denomina centro de la cónica. No todas las cónicastienen centro.

El centro de la cónica tiene la particularidad de ser su centro de simetría.
Si C es una elipse o una hipérbola entonces  det A00  ≠ 0 y el sistema es compatible determinado lo que indica que estas cónicas tienen centro y que éste es único.


Ejemplo:
En la elipse del ejemplo anterior el centro será el punto (2,2) única solución del sistema de ecuaciones

 

Sin embargo sila cónica es una parábola, todos sus puntos tienen polar. La parábola es por tanto una cónica sin centro.
Polo  Dada una recta r diremos que un punto P es un polo de r respecto a una cónica C  si r es la polar de P respecto a C
Por supuesto hay rectas que no tienen polos: en la elipse y la hipérbola son todas las que pasan por el centro y en la parábola son las rectas de dirección (-a12, a11) queson además perpendiculares al vector  (a01 a12 - a02a11, a01 a22 - a02 a12) y las únicas que cortan a la parábola en un solo punto.
Diámetro  Llamaremos diámetro de una cónica C a cualquier recta sin polo.

Las figuras siguientes muestran  diámetros en una elipse y una parábola
        

Diremos que dos diámetros son conjugados si  no son asíntotas (en el caso de la hipérbola) y uno deellos coincide con el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas determinadas por la cónica en las rectas paralelas al otro.
 
 
Ecuación reducida 

La ecuación reducida de una cónica es aquella ecuación simplificada de la curva que sitúa el centro (si lo tiene) de la cónica como origen de coordenadas mientras que los ejes presentan unas relaciones particulares con la cónica.
Partiendode la ecuación general de una cónica se puede llegar a su ecuación reducida aplicándole consecutivamente un giro y una traslación de forma adecuada.
Clasificaremos en tres tipos las ecuaciones reducidas de las cónicas:
Elipse, hipérbola, pares de rectas no paralelas:
  
Donde  a'11 y a'22 son las soluciones de la ecuación  en z
                                     
y                                        
                                 

      



 Parábola
  
con   
                             

Pares de rectas paralelas o coincidentes

con
                                                          

Ejemplo:
Consideremos la ecuación cuadrática
   
La matriz de la cónica que define la ecuación anterior será
  
Veamos que tipo de cónica es calculando sus invariantes
  
Estonos indica que es una parábola.
 
 
La ecuación  reducida de esta parábola será
  
            



 
Las cónicas como lugares geométricos
Si F es un punto fijo del plano y  D una recta, el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias al punto F y a la recta D están en proporción constante es  una cónica no degenerada (elipse, hipérbola, parábola).
Al punto F se ledenomina foco de la cónica y a la recta D directriz asociada al foco F.
 
Ecuación focal
Si C es una cónica propia (no degenerada), en un sistema de referencia determinado, su ecuación será

donde  F=(x0, y0) es el foco de la cónica y la recta ax+by+d=0 es la directriz asociada al foco F. La ecuación anterior se puede transformar fácilmente en

Renombrando los coeficientes y...