Conicas

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Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)

Geometría Analítica

Cónicas
Introducción breve para el curso de Cálculo Superior

Walter Mora F.
Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Versión 1.0 - Julio 2011

Contenido

1

Cónicas Introducción. Preliminares Parábola Elipse La hipérbola. Excentricidad: Otra manera dedefinir las cónicas. Ecuación polar de una cónica. Cónicas y la ecuación de segundo grado 1.8.1 Preliminares: Traslación y rotación de ejes. 1.8.2 Estudio de la ecuación general. 1.8.3 Invariantes y clasificación de cónicas. 1.9 Reconocimiento de cónicas con métodos matriciales. 1.10 Ecuación paramétrica de una cónica. Bibliografía 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

1 1 3 5 12 19 26 28 31 32 35 41 43 4548 49

Solución de los Ejercicios

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i

1
1.1

CÓNICAS

Introducción.

Además de la rectas, los círculos, los planos y las esferas; los griegos se interesaron por las curvas obtenidas como secciones de un cono (parábolas, elipses e hipérbolas). No es totalmente claro del porqué del interés en estas curvas([6], [5]). Las referencias que están disponibles parecen relacionar las cónicas con el problema de duplicación del cubo (problema de Delos): Dado un cubo de lados de medida s y por tanto de volumen s3 , encontrar un cubo de lados de medida x y volumen 2s3 . Hay que entender que solo se podía usar las condiciones auto-impuestas en la época: Las construcciones debían hacerse solo con regla (sin marcas)y compás. Hipócrates redujo el problema a un problema de proporciones, s : x = x : y = y : 2s (1.1)

De aquí se deduce que los valores x, y deben estar en la parábola x2 = sy y en la hipérbola xy = 2s2 . La solución se obtiene como √ la intersección de estas curvas, x = 3 2s que es un número que no se puede construir con regla y compás (como se demostró un 2000 años después). En la época deGriega, estas curvas aparecen como relaciones geométricas.

Figura 1.1 Derivación de la ecuación de la parábola según Apolonio de Perga ([5]).

Menecmo (320 a. C.) parece ser el primero en encontrar estas curvas, en sus esfuerzos por resolver el problema de Delos de manera geométrica. No es claro como pudo llegar a estas curvas (aunque hay varias conjeturas). Es probable que fuera de una manerasimilar a la manera en la que Apolonio de Perga (262 a.C.) las deduce en sus

libros. En el siglo III a.C., Apolonio estudia las cónicas como una sección de un cono circular y caracteriza los puntos de la cónica según sus distancias a dos líneas y deduce una gran cantidad de propiedades geométricas a partir de su caracterización, todo en términos geométricos, sin notación algebraica (lamanipulación de las cónicas es esencialmente algebraica, disfrazada en forma geométrica). Sus tratados sobre cónicas fueron una joya de las matemática antigua. Pappus de Alejandría (a.C.290 - a. C.350) publicó una obra en la que se resume los conocimientos matemáticos de su época, recogiendo fragmentos, a veces íntegros, de las obras que constituían los fundamentos de la enseñanza de las matemáticas...
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