Conjunto, relaciones y funciones

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´ Algebra Lineal I: Conjuntos, Relaciones y Funciones
Jos´ Mar´ Rico Mart´ e ıa ınez Departamento de Ingenier´ Mec´nica ıa a Facultad de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica y Electr´nica ıa a e o Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx

1.

Conjuntos
Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos. Un conjunto S se denota por o S = {x | x satisface la propiedad P }

yest´ formado por todos los objetos x que satisfacen la propiedad P . Si x pertenece al conjunto S, se a denota x ∈ S. En caso contrario, x no pertenece a S y se denota como x ∈ S. / La uni´n de dos conjuntos S1 y S2 , denotado como S1 ∪ S2 , se define como el conjunto de todos los o elementos x que pertenecen a S1 o que pertenecen a S2 , es decir S1 ∪ S2 = {x | x ∈ S1 o x ∈ S2 }.

Laintersecci´n de dos conjuntos S1 y S2 , denotado como S1 ∩ S2 , se define como el conjunto de o todos los elementos x que pertenecen a S1 y que pertenecen a S2 , es decir S1 ∩ S2 = {x | x ∈ S1 y x ∈ S2 }.

El conjunto vac´ denotado por ∅, es el conjunto que no contiene elemento alguno. Un conjunto S1 ıo, es un subconjunto de S2 , denotado por S1 ⊆ S2 , si x ∈ S1 implica que x ∈ S2 , o alternativamente S1 ∪S2 = S2 . Dos conjuntos S1 y S2 son iguales, denotado S1 = S2 si ambos conjuntos tienen los mismos elementos; es decir si S1 ⊆ S2 y S2 ⊆ S1 . Debe notarse que si S1 ⊆ S2 , es posible que S1 = S2 . Si S1 ⊆ S2 , pero se sabe que S1 = S2 , entonces se denota S1 ⊂ S2 y se dice que S1 es un subconjunto propio de S2 . Todo conjunto S2 tiene como subconjuntos impropios a si mismo y al conjunto vac´ ∅.Finalmente, dos conjuntos S1 y S2 son ıo disjuntos o excluyentes si S1 ∩ S2 = ∅. Ejemplos: Considere los siguientes tres conjuntos S1 S2 S3 = {Salamanca, Valle de Santiago, Irapuato, Villagran, Cortazar} = {Le´n, Romita, Silao, Penjamo, Irapuato} o = {Miguel, Rosa, Jes´s, Carmen} u

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Entonces, es posible realizar, las siguientes operaciones S1 ∪ S2 S1 ∩ S2 S2 ∪ S3 S1 ∩ S3 = = = = {Salamanca,Valle de Santiago, Irapuato, Villagran, Cortazar, Le´n, Romita, Silao, Penjamo} o {Irapuato} {Le´n, Romita, Silao, Penjamo, Irapuato, Miguel, Rosa, Jes´s, Carmen} o u ∅

2.

Relaciones

El producto Cartesiano de dos conjuntos S1 y S2 , denotado por S1 × S2 , es el conjunto de parejas ordenadas (a, b), donde a ∈ S1 y b ∈ S2 ; es decir S1 × S2 = {(a, b) | a ∈ S1 y b ∈ S2 }.

Considere elproducto cartesiano S1 ×S2 de dos conjuntos S1 y S2 y sea B ⊆ S1 ×S2 , entonces B define una relaci´n en S1 × S2 de la siguiente manera, si (a, b) ∈ B, entonces se dice que a est´ relacionado con o a b. Ejemplos: Empleando, los conjuntos S1 , S2 y S3 definidos en estas notas, calcule los productos cartesianos S1 × S2 y S3 × S2 . Cuadro 1: Producto Cartesiano S1 × S2 Le´n o Romi Silao Penja Ira Sal(Sal,Le´n) o (Sal,Romi) (Sal,Silao) (Sal,Penja) (Sal,Ira) Valle (Valle,Le´n) o (Valle,Romi) (Valle,Silao) (Valle,Penja) (Valle,Ira) Ira (Ira,Le´n) o (Ira,Romi) (Ira,Silao) (Ira,Penja) (Ira,Ira) Villa (Villa,Le´n) o (Villa,Romi) (Villa,Silao) (Villa,Penja) (Villa,Ira) Corta (Corta,Le´n) o (Corta,Romi) (Corta,Silao) (Corta,Penja) (Corta,Ira)

Cuadro 2: Producto Cartesiano S3 × S2 Le´n o Romi SilaoPenja Ira Miguel (Miguel,Le´n) o (Miguel,Romi) (Miguel,Silao) (Miguel,Penja) (Miguel,Ira) Rosa (Rosa,Le´n) o (Rosa,Romi) (Rosa,Silao) (Rosa,Penja) (Rosa,Ira) Jes´s u (Jes´s,Le´n) u o (Jes´s,Romi) u (Jes´s,Silao) u (Jes´s,Penja) u (Jes´s,Ira) u Carmen (Carmen,Le´n) o (Carmen,Romi) (Carmen,Silao) (Carmen,Penja) (Carmen,Ira)

Ejemplo: Empleando el producto cartesiano S1 × S2 , defina la siguienterelaci´n. El municipio a ∈ S1 o es lim´ ıtrofe con el municipio b ∈ S2 , con la provisi´n de que todo municipio es lim´ o ıtrofe consigo mismo. Para determinar esta relaci´n necesitamos el conocimiento geogr´fico, mostrado en la figura 1 o a La relaci´n se muestra en una copia del producto cartesiano S1 ×S2 , vea 3, los miembros de la relaci´n o o se indican en negritas. Note que esta relaci´n...
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