Conjunto Ternario De Cantor

´
INTRODUCCION

1.

Conjunto Ternario de Cantor

´ que existe entre los Sistemas
Uno de lo ejemplos mas claro de la importante relacion
Din´amicos y los Fractales, es dado por el conjunto cl´asico de Cantor. Ya que es e´ ste, el primer
´ en la Teor´ıa de Conjuntos Fractales, pu´es es
conjunto que se presentar´a en una introduccion
´
el primer fractal por excelencia, y aqu´ı veremos como
seestructura de forma natural en el
estudio de sistemas din´amicos.
´ de tipo tienda
Para ello, se va hacer atrav´es del sistema dinamico asociado a una funcion
´ es
campa˜na, esta funcion
f (x) =

3x,
si x≤1/2
3(1−x), si x≥1/2

´
en el espacio de fase de los numeros
reales, es decir el sistema din´amico (R,f). Cuya repre´ gr´afica se presenta en la Figura 1
sentacion

1

Figura 1

El objetivo que aqu´ınos planteamos, es el de determinar cu´al es conjunto de C ⊂ R de
´
todos los puntos cuya orbita
no diverge a infinito, es decir
C = x ∈ R : O+ (x) no diverge a inf inito = R \ x ∈ R : l´ım f n (x)

−∞

n→∞

´
pu´es si alguna orbita
diverge a infinito ha de ser, obviamente, a −∞, puesto que
f (x) ≤ f (1/2) = 3/2
para todo x ∈ R. Vamos a determinar este conjunto.
´
Veamos gr´aficamente el an´alisisque la orbita
de todos los puntos que est´an fuera del
intervalo [0, 1] divergen a infinito, Figura 2

2

Figura 2

´
Luego el conjunto de puntos cuya orbita
no diverge a infinito, ha de estar contenido en
el intervalo [0, 1], es decir
C ⊂ [0, 1]
´
Ahora, si consideramos un punto x ∈ [0, 1] cuya orbita
se sale del cuadrado unidad, [0, 1] ×
k
´ instante de su recorrido, esto es f (x) > 1 paraalgun
´ k ≥ 1. Entonces su
[0, 1], en algun
´
orbita
diverge a infinito, considerando el an´alisis gr´afico hecho anteriormente, ver Figura 3.
´
´ instante de su recorrido, es
Adem´as, si la orbita
de x no sale del cuadrado unidad en ningun
´
claro que su orbita
est´a acotada y por tanto x ∈ C.
´
Por consiguiente, el conjunto C de puntos x ∈ R cuya orbita
permanece acotada es el con´
junto de lospuntos del intervalo [0, 1] cuya orbita
no se sale nunca del cuadrado unidad.
´
Adem´as es evidente que, si x ∈ [0, 1], su orbita
se sale del cuadrado unidad cuando, para
´ k > 1, f k (x) > 1.
algun
´
Ahora, si llamamos A1 el conjunto de puntos x ∈ [0, 1] cuya orbita
se sale del cuadrado
unidad en el primer paso
A1 = {x ∈ [0, 1] : f (x) > 1}

3

Figura 3

4

´
A2 el conjunto de puntos x ∈ [0, 1]cuya orbita
se sale del cuadrado unidad, por primera vez,
en el segundo paso
A2 = x ∈ [0, 1] : 0 ≤ f (x) ≤ 1, y f 2 (x) > 1
y as´ı reiteradamente, se obtiene de manera general para An , el conjunto de los puntos x ∈
´
[0, 1] cuya orbita
se sale del cuadrado unidad, por primera vez, en el paso n-´esimo
An = x ∈ [0, 1] : 0 ≤ f (x), f 2 (x), ..., fn−1 (x) ≤ 1; f n (x) > 1
Entonces se tiene que
C = [0,1] \ (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ...) = [0, 1] \ ∪∞
n=1 An
Siendo los conjuntos {An }∞
n=1 disjuntos dos a dos
Ai ∩ Aj = φ, para i, j ≥ 1, i

j

Ahora, vamos a determinar cada uno de estos conjuntos. Observando la Figura 4, se puede
ver que A1 est´a formado por el intervalo abierto cuyos extremos son las abscisas de los
puntos de cortes de f con la recta y = 1, y dicho son las ra´ıces de las ecuaciones
3x = 1y 3(1 − x) = 1
que son x = 1/3 y x = 2/3. Luego
1 2
,
3 3

A1 =
por lo cual

C = I11 ∪ I21

donde I11 , I21 son dos intervalos cerrados de longitud 3−1 , cada uno de ellos, de esta forma
I11 = 0, 13

e I21 =

5

2
3,1

.

Figura 4

Para determinar A2 ⊂ [0, 1] \ A1 , conviene observar que f aplica I11 en I, e I21 en I, luego
habr´a dos intervalos abiertos, uno dentro de I11 y otro dentro de I21 alos que f 2 aplicar´a fuera
del cuadrado unidad. Estos intervalos estar´an formados por aquellos puntos de x ∈ [0, 1]\A1
tales que f (x) ∈ A1

6

Figura 5

Luego, por geometr´ıa elemental, se puede ver que A2 est´a formado por dos intervalos
abiertos centrados dentro de I11 e I21 , y de longitud 1/3 de las longitudes de Ii1 , i = 1, 2. Esto
es
7 8
1 2
A2 = , ∪ ,
9 9
9 9
C estar´a contenido en...