Conjuntos y subconjuntos

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Conjuntos y subconjuntos
CONJUNTOS
El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que, como se verá en los ejemplos, pueden ser cualesquiera números, personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o míembros del conjunto.
Si bien los conjuntos seestudian como entidades abstractas, enumeremos diez ejemplos particulares de conjuntos.

Ejemplo 1: Los números 1, 3, 7 y 10.
Ejemplo 2: Las soluciones de la ecuación xz - 3x - 2
Ejemplo 3: Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, u.
Ejemplo 4: Las personas que habitan la Tierra.
Ejemplo 5: Los estudiantes. Tomas, Ricardo y Enrique.
Ejemplo 6: Los estudiantes ausentes de laescuela.
Ejemplo 7: Los países Inglaterra, Francia y Dinamarca.
Ejemplo 8: Las ciudades capitales de Europa.
Ejemplo 9: Los números 2, 4, 6, 8, ...
Ejemplo 10: Los ríos de los Estados Unidos.

Nótese que los conjuntos de los ejemplos impares vienen definidos, o sea presentados, enumerando de hecho sus elementos, y que los conjuntos de los ejemplos pares se definen enunciandopropiedades, o sea reglas, que deciden si un objeto particular es o no elemento del conjunto.

NOTACIÓN
Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas
A, B, X, Y,…

Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas

a, b, x, y, .
Al definir un conjunto por la efectiva enumeración de sus elementos, por ejemplo, el A, que consiste en los números 1, 3, 7 y 10,se escribe

A = {1, 3, 7, 10}
Separando los elementos por comas y encerrándolos entre llaves { }. Esta es la llamada forma tabular de un conjunto. Pero si se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos como, por ejemplo, el B, conjunto de todos los números pares, entonces se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribeB = {x│x - es par}
lo que se lee «B es el conjunto de los números x tales que x es par». Se dice que ésta es la forma de definición por comprensión o constructiva de un conjunto. Téngase en cuenta que la barra vertical «│» se lee «tales que».
Para aclarar el empleo de la anterior notación, se escriben de nuevo los conjuntos de los Ejemplos 1-1 al 1-10, designando los conjuntos por A1, A2,..., A respectivamente.

Ejemplo 1: A1 = {1, 3, 7, 10}
Ejemplo 2: A2 = {x │ x2 - 3x - 2 =0}
Ejemplo 3: A3 = {a, e, i, o, u}.
Ejemplo 4: A4 = {x \ x es una persona que habita en la tierra}.
Ejemplo 5: A5 = {Tomas, Ricardo Enrique},
Ejemplo 6: A6 = {x \x es estudiante y x está ausente de la escuela}.
Ejemplo 7: A7 = {Inglaterra, Francia, Dinamarca}.
Ejemplo 8: As = {x \x es una ciudad capital y x está en Europa}
Ejemplo 9: A9= {2, 4, 6, 8}
Ejemplo 10: A10 = {x \ x es un río y x está en los Estados Unidos}.

Si un objeto x es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x coma uno de sus elementos, se escribe:
x[pic] A

que se puede leer también «x pertenece a A» o «x está en A». Si por el contrario, un objeto x no es elemento de unconjunto A, es decir, si A no contiene a x entre sus elementos, se escribe

x [pic] A
Es costumbre en los escritos matemáticos poner una línea vertical «│» u oblicua «/» tachando un símbolo para indicar lo opuesto o la negación del significado del símbolo.

Ejemplo 1: Si A = {a, e, 1, o, u}, entonces a [pic] A, b [pic] A,e ε A, f [pic]A.

Ejemplo 2: Si B = {x \ x es par}, entonces 3[pic] B, 6 ε B, 11 [pic] B, 14 ε B.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Intuitivamente, un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito. Posteriormente se dará una definición precisa de conjuntos...
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