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C AP ÍTULO

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Semejanza

Resumen del contenido
Uno de los tipos de pensamiento más importantes en las matemáticas es el razonamiento proporcional —aplicar lo que sabemos de una figura a figuras más grandes o más pequeñas. En el Capítulo 11 los estudiantes tienen la oportunidad de practicar este tipo de pensamiento aplicándolo a figuras semejantes —figuras que son agrandamientos(estiramientos) o reducciones (encogimientos) entre sí. Una transformación que estira o encoge a una figura por el mismo factor en todas direcciones es una dilatación, y el factor se denomina factor de escala.

Polígonos semejantes
En el uso diario, “semejante” significa parecido en algunas maneras. Pero en geometría, semejante significa exactamente la misma forma (pero no necesariamente el mismotamaño). Dos polígonos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de los lados correspondientes tienen todas la misma razón. Esta razón se denomina el factor de escala. Las razones de las longitudes de otras partes correspondientes de triángulos semejantes son iguales al factor de escala. El libro se concentra en triángulos semejantes y —tal como con la congruencia—halla medios rápidos para determinar semejanza. Estos medios rápidos pueden aplicarse para calcular longitudes que no pueden medirse directamente, tal como la altura de un mástil de bandera.

Rectas paralelas
Si se dibujan rectas entre dos lados de un triángulo y son paralelas al tercer lado, entonces cada recta crea un nuevo triángulo semejante al original. Entonces, estas rectas dividenproporcionalmente los dos lados que cortan.

Área y volumen
Algunos de los resultados más importantes y sorprendentes implican las relaciones entre las áreas o volúmenes de figuras semejantes. Suponga que duplica la longitud y el ancho de un rectángulo para formar un rectángulo más grande. Podría esperar que el área sea el doble, pero de hecho es el cuádruple, o aumenta con un factor 4.

Sicualquier figura bidimensional se dilatada con un factor de escala r, entonces su área se multiplica por r 2. Igualmente, si una figura tridimensional se dilatada con un factor de escala r, entonces su volumen se multiplica por r 3. (Las áreas superficiales de sus caras, que son bidimensionales, se multiplican por r 2.) Por ejemplo, si una esfera se agranda con un factor 1.5 (su radio se multiplica por1.5), entonces su volumen se multiplica por 1.53 3.375, y su área superficial se multiplica por 1.52 2.25.
(continúa)

©2008 Key Curriculum Press

Discovering Geometry: Una guía para los padres

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Capítulo 11 • Semejanza (continuación) Problema resumen
Dibuje un pentágono en papel cuadriculado, tal como en la Lección 11.1, Investigación 2. Elija cualquier constante como su factor deescala. Multiplique las coordenadas de cada vértice por esa constante para ubicar los vértices de un nuevo pentágono. ¿Cómo se comparan los dos pentágonos? Preguntas que puede hacerle en su rol de estudiante a su estudiante:
● ● ● ●

¿Son semejantes los pentágonos? ¿De cuántas formas puedes demostrar que son semejantes? ¿Cómo se compara el área del nuevo pentágono con el área del original? ¿Quéfactores de escala utilizarías para agrandar el pentágono original? ¿Qué factores de escala utilizarías para hacer un pentágono más pequeño?

Ejemplos de respuestas
Para verificar la semejanza, debemos demostrar que los lados correspondientes son proporcionales y que los ángulos correspondientes son congruentes. Su estudiante puede verificar que los lados son proporcionales ya sea midiendo laslongitudes de los lados correspondientes y escribiendo sus razones o dibujando segmentos desde el origen a los vértices y aplicando la conjetura ampliada de paralelismo/ proporcionalidad (hallando cinco pares de triángulos semejantes). Puede verificar la congruencia de los ángulos correspondientes midiéndolos o aplicando el medio rápido de semejanza SSS a triángulos en los que puede dividirse el...
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