Conjuntos

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TEORÍA DE CONJUNTOS

OBJETIVOS:
* Establecer correctamente la noción de conjunto y su notación.
* Utilizar adecuadamente los símbolos de pertenencia e inclusión y representar los conjuntos adecuadamente.
* Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondiente cardinal.
* Resolver problemas utilizando los Diagramas de Veen-Euler y Lewis Carroll.

Noción de ConjuntoConcepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados “integrantes” u elementos susceptibles de ser comparados.

Ejemplos:
* Los días de la semana
* Los países del continente americano.
* Los jugadores de un equipo de fútbol.

NotaciónGeneralmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minúsculas separadas por comas y encerrados con llaves.

Ejemplo: A = los días de la semana
B = a, e, i, o, u

Relación de Pertenencia ()
Se establece esta relación sólo de “integrante” a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del conjuntoconsiderado.

“....pertenece a .....” :
“... no pertenece a ..”:

Esto quiere decir que dado un “integrante u elemento” y un conjunto
Integrante conjunto
u elemento

Ejemplo: C = 1,2, 1,2, 5, 16
* 2 C
* 8 C
* 1,2 C
* 5 C

incorrecto

Determinación de un Conjunto
Consiste en precisar correctamente que “elementos” forman parte del conjunto. Puede hacerse de2 formas:

a) Por Extensión o forma tabular.
Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los integrantes

Ejemplo: A = a, e, i, o, u
C = 2,4,6,8

Es evidente que el orden en el cual son listados los “elementos” del conjunto no afecta el hecho de que pertenece a él.

De este modo en el conjunto
A = a,e,i,o,u = a,o,u,i,e
No todos los conjuntos pueden ser expresados porextensión, entonces se recurre a otra forma de determinación.

b) Por Comprensión o forma constructiva
Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

Esquema /
(se lee “tal que”)

A =..........................

Regla de Restricción
Correspondencia y/o característica
o forma general (propiedad común)
del elemento
B = n/n es una vocal
C = n²-1 / n ZZ ,1 n 7

CONJUNTOS NUMERICOS
1. Conjunto de los números naturales
IN = 1,2,3,4.... EJM 17 IN
IN O = IN* = 0,1,2,3,....
Observación
Cero (0) es natural

2. Conjunto de los Números Enteros
ZZ = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
ZZ , - 24 ZZ

3. Conjunto de los Números Racionales
Q = a/b / a ZZ b ZZ b 0
3 Q porque : 3 =
0,5 Q porque 0,5 =
0,333... Q porque 0,333... =
= 3,141592... Q porque
Aplicación I
Dado el conjunto
B = 1, , , 2 1, 1,2,3

Indicar que proposiciones son verdaderas o falsas
* B * 1 B
* 1 B * 3 B
* 1,2 B * B
Aplicación II
Determinar por extensióny comprensión los siguientes conjuntos
P = 2, 6, 12, 20,..., 10100
Q = 3x+1/x ZZ - 3 < x < 3

Cardinal de un Conjunto
Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A (es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el número de elementos del conjunto A y se denota como n(A) ó card (A)

Ejemplo:
A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5
P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4

Diagramas de Venn – Euler
Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región de plano limitado por una figura geométrica cerrada en cuyo interior se indican los “elementos” que forman el conjunto

Ejemplo: A a,b,c,d,e
A
. a . b
. c . d
. e

Diagrama...
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