Conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos.
Ejemplos
A = {a, e, i, o, u}
B = {blanco, gris, negro}
C = {2, 4, 6, 8, 9}
D = {x|x es un país de América Latina}

Cuando un conjunto es descrito por un propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión. Cuando damos una lista explícita de los elementos del conjunto, decimos que está determinado por extensión.Pertenencia.
Consideremos una relación binaria denotada por ∈, definida entre un elemento a y un conjunto A. Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamos por a ∈ A. En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a ∈/ A.
Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A⊆ B y se lee A está contenido en B. En otras palabras (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).
Para decir que A * B negamos la proposición anterior así:
∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B) ⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x ∈/ B)
Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A. Pues de no ser así, existiría x ∈ ∅ tal que x ∈/ A, lo cual contradice el hecho de que vacío no tiene elementos.
Operaciones entre conjuntos
Unión
Sean A y B dos conjuntos,definimos la unión de A y B como
A ∪ B := {x|x ∈ A o x ∈ B}.
Unión

Intersección
Sean A y B dos conjuntos, definimos la intersección de A y B
como
A ∩ B := {x|x ∈ A y x ∈ B}.



Sea A un conjunto considerado como subconjunto de un conjunto universal U. Definimos el complemento de A (con respecto a U) como
A′ = {a ∈ U|a ∈/ A}.
El complemento de A se nota por A′ o por AC

DiferenciaSean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B
como
A − B = {x|x ∈ A ∧ x ∈/ B}



Determinación por Extension
Un conjunto est´a definido por extensi´on cuando se especifican todos los elementos que forman el mismo.
Ejemplo 1.1 Los siguientes conjuntos están definidos por extensión.
(a) El conjunto de las vocales del alfabeto.
A = {a, e, i, o, u}
(b) El conjunto formado por losnúmeros enteros pares no negativos y menores que diez.
B = {0,2,4,6,8}

Conjunto Universal
En cualquier aplicaci´on de la teoria de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos en consideraci´on
pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Lo notaremos por U .
Ejemplo 1.6 Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto universal y un predicado
apropiadospara definirlo.
(a) El conjunto de los enteros entre 0 y 100.
(b) El conjunto de los enteros positivos impares.
(c) El conjunto de los m´ultiplos de 10.

Conjunto Vacio
Al conjunto ´unico que no contiene elementos, lo llamaremos conjunto vacio. Lo notaremos con el simbolo ∅ que proviene del alfabeto noruego.

Axioma de Extension
Dos conjuntos A y B son iguales si, y s´olo si tienen losmismos elementos. Es decir, cada elemento
del conjunto A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A.
Su expresi´on formal en notaci´on l´ogica es:
A = B ⇐⇒ ∀x [(x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)]
o bien,
A = B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B)

Subconjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A est´a contenido en B o que es un subconjunto de B, y lo
notaremos por A ⊆ B, si cadaelemento de A es un elemento de B, es decir,
A ⊆ B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)
Tambi´en puede decirse que B contiene a A, en cuyo caso escribiremos B ⊇ A

Inclusión Estricta
Si A ⊆ B y adem´as B tiene un elemento que no est´a en A, diremos que A est´a estrictamente incluido
en B o que A es un subconjunto propio de B y lo notaremos por A ⊂ B.
A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ [∃x : (x ∈ B ∧ x ∈/ A)]

ProposiciónSea U el conjunto universal y A un conjunto cualquiera. Entonces A ⊆ U .



Caracterización de la Igualdad
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . Entonces A = B si, y s´olo si A ⊆ B y B ⊆ A.

Corolario
De la caracterizaci´on anterior se sigue que para cualquier conjunto A, se verifica que A ⊆ A.

Transitividad de la Inclusión
Sean A, B y C tres conjuntos...