Conjuntos

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CONJUNTOS
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos: 
1.2.1. Conjunto de los números naturales. 
El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, corrientemente se presenta asi: 
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivoses de carácter informal.  Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales. 
1.2.2. Conjunto de los números enteros. 
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta asi: 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
En el conjunto de los númerosenteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2. 
 Puede notarse que N ⊂Z. 
  1.2.3. Conjunto de los números racionales. 
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera: 
Q = [pic] / m, n son enteros y n [pic] 
La introducción de los números racionalesresponde al problema de resolver la ecuación: 
ax = b, con a, b∈ R, a ≠ 0. 
Ésta sólo tiene solución en Z , en el caso particular en que a es un divisor de b. 
Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que:
Z ⊂ Q. 
  En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d,..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero. 
1.2.4. Conjunto de los números irracionales.

En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo ladosea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2. 
Puede demostrarse fácilmente, que no existe X ∈Q  que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a ∈Q y n ∈N, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describrir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriorestengan solución.  El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. 
Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), π , [pic], etc. 
En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyassoluciones son: x = [pic], que no son números racionales. 
1.2.5. Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: R =Q ∪ Q*.
En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo). 
  1.2.5.1. Axiomas de campo 
A.C.1. Uniforme 
Si se suman entresi dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. 
Si se multiplican entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único.
A.C.2. Conmutativa 
Para todo a, b  ∈ R , [pic]
A.C.3. Asociativa 
Para todo a, b, c€ ∈ R , [pic]
A.C.4. Modulativa 
Existe el real 0 (cero) tal que para todo a € ∈R , 
a + 0 = 0 + a = a  
Existe el real 1 (uno), 1 ≠ 0 tal que,para todo a € ∈R, 
a . 1 = 1 . a = a  
El real 0 es llamado: módulo o elemento neutro para la adición. 
El real 1 es llamado: módulo o elemento neutro para la multiplicación.
A.C.5. Invertiva 
Para cada número real a, existe un real único llamado el opuesto de a, y que se denota –a tal que: 
a + (-a) = 0  
Para cada número real a ≠ 0, existe un real único llamado el recíproco de a, y que...
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