consecuencias de baire

Cap´
ıtulo 1
Espacios de Banach

1

Cap´
ıtulo 2
Consecuencias del Teorema de
Baire
2.1

El Teorema de Baire

Definici´n 2.1.1 Sea E un espacio topol´gico. Un subconjunto A de E es
o
o
˚ = ∅. Cuando E es un espacio m´trico,
e
ralo (o denso en ninguna parte) si A
esto equivale a decir que la clausura A de A no contiene una bola abierta.
Decimos que A es de primera categor´ enE si A es la uni´n de una
ıa
o
colecci´n, a lo m´s numerable, de subconjuntos conjuntos ralos ( en E).
o
a
Tambi´n, decimos que A es de 2da categor´ si no es de primera categor´
e
ıa
ıa.
En lo que sigue, E es un espacio m´trico. Notemos que la definici´n anterior
e
o
incluye el caso de todo el espacio E. As´ un espacio m´trico E es de segunda
ı,
e
categor´ si no puede ser escritocomo una uni´n, a lo m´s numerable, de
ıa
o
a
subconjuntos ralos.
Problema 2.1.1 Demuestre las siguientes afirmaciones,
1. Un sobconjunto A de E es ralo si y s´lo si A es ralo.
o
2. Un subconjunto cerrado A es ralo si y s´lo si E\A es denso (en E).
o
3. E es de segunda categor´a si y s´lo si ( si E = n Fn , con Fn cerrados,
ı
o
entonces existe un n0 talque Fn0 tiene interiror vac´
ıo).2

4. E es de segunda categor´ si y s´lo si dada una colecci´n (Gn ) de
ıa
o
o
subconjuntos abiertos densos, se tiene que Gn es no vac´
ıo.
ıas
e
Teorema 2.1.1 (El teorema de las categor´ de Baire) Todo espacio m´trida
co completo es de 2 categor ´ (en s´ mismo).
ıa
ı
Problema 2.1.2 Sea E un espacio vectorial. Un subconjunto A ⊂ E es
convexo si x, y ∈ A, 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 −λ)y ∈ A
(a) Sea T : E −→ F lineal. Demuestre que si A ⊂ E es convexo entonces
T (A) ⊂ F es convexo.
(b) Sea E normado. Demuestre que la clausura de todo subconjunto convexo es convexa.

2.2

El Teorema de la transformaci´n abierta
o

Teorema 2.2.1 Sean E y F espacios de Banach. Sea T : E → F una
transformaci´n lineal, continua y sobre. Entonces T es abierta (vale decir,
o
T llevaconjuntos abiertos en conjuntos abiertos).
Demostraci´n Sea > 0.
o
Es f´cil ver que F = ∞ nT (B(0, )). Entonces, por el teorema de
a
n=1
Baire, existe un entero positivo n tal que nT (B(0, )) tiene interior. Luego,
T (B(0, )) tambi´n tiene interior. O sea, existe δ > 0 y un vector y ∈ F
e
tales que B(y, δ) = y + B(0, δ) ⊂ T (B(0, )).
Claramente, −y+B(0, δ) = −y−B(0, δ) ⊂ (−1)T (B(0, )) = T(B(0, )).
As´ dado u ∈ B(0, δ), se tiene que,
ı,
1
1
u = (u − y) + (y − u)
2
2

1
1
∈ (−y + B(0, δ)) + (y + B(0, δ))
2
2
1
1
⊂ T (B(0, )) + T (B(0, ))
2
2
⊂ T (B(0, )).
3

Hemos demostrado entonces que para todo

> 0, existe δ > 0, talque,

B(0, δ) ⊂ T (B(0, ))

(2.1)

Sea > 0. Ahora demostraremos que,
T (B(0, )) ⊂ T (B(0, 3 ))

(2.2)

Escojamos n = 2n−1 . Adem´s,sean δn tales que B(0, δn ) ⊂ T (B(0, n )).
a
(Claramente δn −→ 0 ).
Sea y ∈ T (B(0, )). Entonces, existe x1 ∈ B(0, ) tal que y − T x1 < δ2 .
Esto significa que y ∈ B(T x1 , δ2 ) y como,
B(T x1 , δ2 ) = T x1 + B(0, δ2 ) ⊂ T x1 + T (B(0, 2 )) ⊂ T (B(x1 , 2 )),
se tiene que existe x2 ∈ B(x1 , 2 ) tal que y − T x2 < δ3 .
Inductivamente, constru´
ımos una sucesi´n (xn ) ⊂ E tal que,
o
i) xn+1∈ B(xn ,

n+1 )

(i.e. xn+1 − xn <

n+1 )

ii) y ∈ B(T xn , δn+1 ) (i.e., y − T xn < δn+1 ),
con x1 < .
Como,
xn+k − xn

≤
<
=

xn+k − xn+k−1 + · · · + xn+1 − xn
n+k + · · · + n+1
2n+k−1

+ ··· +

2n
1
1
= n (1 + + · · · + k−1 ) < n−1 − − 0,
−→
n→∞
2
2
2
2

tenemos que (xn ) es una sucesi´n de Cauchy y, por lo tanto, existe x ∈ E
o
tal que xn −→ x.
Adem´s,
a
xn≤

xn − xn−1 + · · · + x2 − x1 + x1
1
< n + · · · + + < (1 + + · · · + · · · ) = 2 ,
2
2
2

de modo que x ≤ 2 .
4

Por otra parte, como xn −→ x, se tiene que T xn −→ T x y de (ii) se
deduce que y = T x. Hemos demostrado as´ que,
ı
T (B(0, 2 )) ⊂ T (B(0, 3 )).
De (2.1) y (2.2) sigue que para todo

> 0, existe δ > 0 tal que,

B(0, δ) ⊂ T (B(0, )).

(2.3)

T x + B(0,...