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Probabilidad Condicional e independencia

En los problemas vistos hasta ahora, las probabilidades de los eventos se han calculado libremente, sin ninguna restricción y sin relacionarlos con la ocurrencia de otros eventos. Sin embargo, muchas veces necesitamos encontrar la probabilidad de un evento A que está sujeto o condicionado a que haya sucedido otro evento B, al cual pertenece una partedel primero.
 
Escribiremos P (A | B ) y significa “la probabilidad del evento A si ya ocurrió el evento B”.
 
Para que tenga validez lo anterior debe de cumplirse que:
 
1. Los eventos A y B pertenezcan al mismo espacio muestral S.
2. La probabilidad del evento condición debe ser mayor que cero, esto es, P(B)>0.
3. Al condicionar la ocurrencia del evento A al evento B, se realiza un cambiodel espacio muestral S, actuando en su lugar el evento B como espacio muestral reducido; por lo que el evento (A | B) será la fracción de A que corresponde a B, que como ya vimos es la intersección de A y B.
 
De acuerdo a lo anterior, podemos decir que:
 
Si A y B son cualquier evento en el espacio muestral S y P(B)>0, la probabilidad del evento A si ya ocurrió el evento B está dada por:
  
 Esto se puede apreciar fácilmente mediante el diagrama deVenn
 
 



Teorema de multiplicación

           
Una consecuencia inmediata de lo visto anteriormente es la llamada Regla de Multiplicación que dice:
 
Si A y B son eventos contenidos en el mismo espacio muestral S, donde P(A) > 0 y P(B) >0, entonces P(A ∩ B) = P(A) P(B | A).
 
Ya vimos que la probabilidad condicionalestá definida por: .

Despejando P(A ∩ B) se obtiene:

P(A ∩ B) = P(B) P(A | B)
 
En forma similar y partiendo de P(B | A) se llega a:
 
P(B ∩ A) = P(A) P(B | A)
 
La regla de la multiplicación también se puede generalizar. Veamos el caso de tres eventos. Sean los eventos A, B y C del mismo espacio muestral S, donde P(A) > 0, P(B) > 0 y P(C) > 0. Si tenemos P(A ∩ B ∩ C), aplicando la leyasociativa del álgebra de conjuntos y la Regla de la Multiplicación  se obtiene:

P(A ∩ B ∩ C) = P[A ∩ (B ∩ C)] = P(B ∩ C) P(A | B ∩ C).
 
Aplicando nuevamente la Regla de Multiplicación en P(B ∩ C) = P(C) P(B | C) llegamos a P(A ∩ B ∩ C) = P(C) P(B | C) P(A | B ∩ C).
 
Cuando se tienen n eventos, la regla de multiplicación queda:
 
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An) = P(A1) P(A2 | A1) P(A3 |A1 ∩ A2) . . . P(An | A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An-1)
 
Ejemplo 1. Una caja contiene 25 tornillos, de los cuales 4 son defectuosos. Si se extraen 2 tornillos al azar, encontrar la probabilidad de que los dos sean defectuosos.
 
Solución
 
Definimos los eventos:
 
A = {x | x es el primer tornillo extraído es defectuoso}
B = {x | x es el segundo tornillo extraído es defectuoso}
 
De acuerdo a estasdefiniciones, para el primer tornillo extraído se tiene que P(A)= . Como ya se extrajo un tornillo defectuoso, las condiciones para extraer el segundo tornillo son de 24 tornillos, de los cuales 3 son defectuosos, por lo que P (B | A) = . Utilizando la Regla de Multiplicación tenemos:
 
P(A ∩ B) = P(A) P(B | A) =   = 0.02
 
Ejemplo 2. Se tiene una urna que contiene 4 canicas verdes y 6 rojas. Si seextraen 2 canicas sin reemplazo ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda verde?
 
Solución
 
Sean lo eventos:
 
C = {x | x la primera canica es roja}
D = {x | x la segunda canica es verde}
 
En total hay 10 canicas, por lo que para la primera canica que se extrae se tiene que:  . En el momento de extraer la segunda canica hay 9 canicas en la urna, de las cuales 4 sonverdes, por lo que:  . Aplicando la Regla de multiplicación queda:

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Teorema de probabilidad total

           
Supongamos que los eventos A1, A2, . . ., An, forman una partición del espacio muestral S y sea B otro evento que tenga intersección con los eventos Ai.
 
 



Sabemos que S = A1 U A2 U . . . U An. De acuerdo a la ley de identidad vista en álgebra de conjuntos,...