Construccion de curvas por medio de derivadas

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  • Publicado : 5 de diciembre de 2011
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CONSTRUCCION DE CURVAS POR MEDIO DE DERIVADAS

Una función, por sí misma, no ofrece la información necesaria para dibujar su gráfica con un mínimo de exactitud.
La derivada va a ser la herramienta más potente a la hora de dar forma a la representación gráfica de una función. Ella determinará con toda fidelidad el crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de inflexión; conceptos queserán definidos en el desarrollo del tema.
Ante una función cualquiera f(x) puede averiguarse fácilmente, con un mínimo análisis, cuál es su dominio de definición (dónde está y dónde no está definida). Este conocimiento obliga, al representar la función en un sistema de ejes cartesianos, a centrar la atención en los puntos del eje de abscisas donde está definida.
La representación gráfica deuna función aporta mucha más información que la simple definición de la función, por cuanto nos permite visualizar la variación de la variable dependiente, y, con respecto a la variable independiente, x; es decir, cuándo la función es creciente o decreciente, cuándo se alcanza el punto máximo o el mínimo, entre otros muchos aspectos.
Aunque la palabra curva puede tener varios significados, en loque sigue, se debe entender como la representación gráfica de una función en un sistema de ejes cartesianos, es decir, la representación de todos los puntos de la forma (x, f(x)). Como, en general, este conjunto de puntos es infinito, no se podrán señalizar uno a uno, por lo que habrá que conformarse con una aproximación que, por otro lado, será tanto mejor cuanta más información se tenga delcomportamiento de la curva, que podrá ser muy variable. Por esto es necesario distinguir y analizar los distintos casos que se pueden presentar.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Una función es creciente en un intervalo [a, b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 ≤ x2, se verifica que
f(x1) < f(x2).
Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduceque f(x1) < f(x2).
Una función es decreciente en un intervalo [a, b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 ≤ x2, entonces f(x1) ≥ f(x2).
Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1) > f(x2), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE EN PUNTO
Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto
(a - ε, a + ε), ε > 0,cumpliéndose:
f(x) ≤ f(a) si x pertenece a (a - ε, a) y
f(x) ≥ f(a) si x pertenece a (a, a+ ε).
Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - ε, a + ε) en el que
f(x) ≥ f(a) si x pertenece a (a - ε, a) y
f(x) ≤ f(a) si x pertenece a (a, a+ ε).
La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más quesustituir el símbolo ≤ por < y el ≥ por el >.
Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.
Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x ² en los puntos
1/2, -1 y 0
Resolución:
La función y = x ² es estrictamente creciente enel intervalo [0, +∞) puesto que si
x1 < x2, x1 ² < x2 ²
Es estrictamente creciente en x = 1/2.
Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-∞, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3< x4 ⇒ x3 ² > x4 ² (por ejemplo, -7 < -3 y (-7) ² > (-3) ²). Es estrictamente decreciente en x = 0.
Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de estepunto es decreciente y a la derecha es creciente.
Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.
Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo...
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