Consumo intertemporal

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MACROECONOMÍA AVANZADA

El Consumo Intertemporal

Richard Roca http://RichardRoca.blogspot.com rhroca@yahoo.com Universidad Nacional Mayor de San Marcos Pontificia Universidad Católica del Perú 2005

Richard Roca Macroeconomía Avanzada: Consumo Intertemporal

TEORÍA DEL CONSUMO INTERTEMPORAL Se presenta las teorías del consumo intertemporal en tiempo continuo y discreto usando lastécnicas de optimización intertemporal. Keynes: “Teoria General”. Teoría del Ingreso corriente Ct = f (YDt ) Friedman (1958) A theory of consumption function El consumo corriente depende del ingreso permanente Ct = f (YPt ) Modigliani-Brumberg (1954) Utility Analysis and the Consumption function. Modigliani-Ando ((1963) The Lyfe Cycle Hypothesis of saving: Aggregate Implications and Tests. AER Ct = f (Riqt ,Yt ) El Consumo de un periodo depende parcialmente de ingreso corriente y también de la riqueza. Se ahorra para la etapa de retiro.

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Enfoque Intertemporal El Consumo de un periodo depende del valor presente descontado de la riqueza y es independiente del nivel corriente de los ingresos. 1. Tiempo continuo Supongamos que unapersona busca maximizar el valor presente de la utilidad desde el inicio (0) hasta el resto de su vida (T):
− δt (1) max ∫0 e u (c(t )) dt T

u (c(t )) : función de consumo instantánea δ : tasa de preferencia intertemporal e − δt factor de descuento subjetivo

Sujeto a las restricciones: & A (t) = y (t ) + rA(t ) − c(t ) la riqueza aumenta con el ahorro A ( 0 ) = A0 se inicia con undeterminado nivel de riqueza acumulado A(T) = 0 se muere sin desperdiciar recursos y pagando todas las deudas Donde: y (t ) : Ingreso real en el momento t
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Tasa de interés real compuesta continuamente, que se supone constante A(t ) : activos reales acumulados al momento t rA(t ) : Intereses ganados. Renta no humana & A (t) = y(t ) + rA(t) − c(t )

r:

max ∫ e − δt u (c(t )) dt El Hamiltoniano: 0
− δt (3) H [ A(t ), c(t ), λ (t ), t ] = e u (c(t )) + λ (t )[ y (t ) + rA(t ) − c(t )]

T

Máximo de Pontryagin: condiciones de Primer orden:

∂H = 0 ⇒ e −δ t u´(c(t )) − λ (t ) = 0 (4) ∂c(t )
(5) (6)

∂H & & = −λ (t ) ⇒ λ(t)r = − λ(t) ∂A(t ) ∂H & & = A(t ) ⇒ A(t) = rA(t ) + y (t ) − c(t ) ∂λ (t )

De (4): En (5):

λ (t) = e −δ t u´(c(t ))

& re −δ t u´(c(t )) = − e −δ t u´´(c(t ))c + (−δ )e −δ t u´(c(t )) & − re −δ t u´(c(t )) = e −δ t u´´(c(t ))c −δe −δ t u´(c(t )) & − ru´(c(t )) = u´´(c(t ))c −δu´(c(t )) & (δ − r )u´(c(t )) = u´´(c(t ))c

[

]

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(7)

& (δ − r ) u´(c(t )) = c u´´(c)

de donde:

u´(c(t )) & (r − δ ) c=− (8)u´´(c(t ))

u´´(c(t )) & − c = r −δ o: u´(c(t ))

Lo que nos dice que la tasa a la que decrece la utilidad marginal del consumo, a lo largo de la senda óptima es igual al exceso de la tasa de interés real (r) sobre la tasa de preferencia intertemporal (δ) subjetiva. Dividiendo (8) entre el consumo para expresarlo en tasas de crecimiento:

& c u´(c(t )) =− (r − δ ) c c(t )u´´(c(t ))
& c r −δ & r −δc = c= ó: (9) c ε ε lo que describe la senda del consumo en el tiempo u´´(c(t ))⋅c(t ) ε =− > 0 es la elasticidad de la UMC: Donde u´(c(t ))

ε =−

c(t ) d (u´(c(t ))) u´´(c(t ))⋅c(t ) =− >0 u´(c(t )) dc u´(c(t ))

Si r >δ : el consumo crece a lo largo de la senda óptima sin depender de otras variables o sea independientemente del ingreso corriente.

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& c r −δ Integrando (9) c = ε con respecto al tiempo: & c r −δ dt = ∫ dt ∫c ε 1 dc r −δ dt = ∫ dt ∫ c dt ε 1 r −δ dc = ∫ dt ∫c ε
ln c + k1 = r −δ

ln c =

r −δ

ε
t + k3
r −δ

t + k2

ε

e

ln c

=e

ε
t

t

e k3

r −δ

(10) c(t ) = e

ε

K

K se determina integrando la restricción presupuestaria de & A(t ) = rA(t ) + y (t ) −...
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