conta

Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones seríael siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programaciónlineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Introducción [editar]
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde  son las incógnitas y los números  son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
(1)
Sirepresentamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.
Sistemas lineales reales [editar]
En esta sección se analizan las propiedades de los sistemasde ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones sonnúmeros reales.
Representación gráfica [editar]


La intersección de dos planosque no son paralelos ni coincidentes es una recta.
Un sistema con  incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestrosistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lomismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que seránlas coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.
Tipos de sistemas [editar]

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas quese cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se...